次の4つの条件を満たす球の方程式を求める問題です。 (1) 中心が$(2, 4, -3)$で半径が$\sqrt{5}$の球 (2) 中心が原点で、点$(3, -2, 1)$を通る球 (3) 中心が点$(-2, 1, 5)$で、点$(1, 0, 4)$を通る球 (4) 2点$(2, -5, 3)$、$(4, 3, 1)$を直径の両端とする球

1. 問題の内容

次の4つの条件を満たす球の方程式を求める問題です。

(1) 中心が$(2, 4, -3)$で半径が$\sqrt{5}$の球

(2) 中心が原点で、点$(3, -2, 1)$を通る球

(3) 中心が点$(-2, 1, 5)$で、点$(1, 0, 4)$を通る球

(4) 2点$(2, -5, 3)$、$(4, 3, 1)$を直径の両端とする球

2. 解き方の手順

(1) 球の中心が$(a, b, c)$、半径が$r$のとき、球の方程式は

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

である。中心が$(2, 4, -3)$、半径が$\sqrt{5}$なので、球の方程式は

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 3)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 3)^2 = 5$

となる。

(2) 球の中心が原点$(0, 0, 0)$、点$(3, -2, 1)$を通るので、半径$r$は原点と$(3, -2, 1)$との距離である。

$r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

よって、球の方程式は

$x^2 + y^2 + z^2 = (\sqrt{14})^2$

$x^2 + y^2 + z^2 = 14$

となる。

(3) 球の中心が$(-2, 1, 5)$、点$(1, 0, 4)$を通るので、半径$r$は中心と$(1, 0, 4)$との距離である。

$r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$

よって、球の方程式は

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = (\sqrt{11})^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = 11$

となる。

(4) 2点$(2, -5, 3)$、$(4, 3, 1)$を直径の両端とする球の中心は、2点の中点である。

中心の座標は$(\frac{2+4}{2}, \frac{-5+3}{2}, \frac{3+1}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (3, -1, 2)$

球の半径は、中心$(3, -1, 2)$と点$(2, -5, 3)$との距離である。

$r = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-5 - (-1))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$

よって、球の方程式は

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{18})^2$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 18$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 3)^2 = 5$

(2) $x^2 + y^2 + z^2 = 14$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = 11$

(4) $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 18$