平面上の三角形OABにおいて、辺ABの中点をMとする。ベクトル $\vec{a} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}$、$\vec{b} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|}$ とする。点Pを $\vec{a} \cdot \vec{OP} = -\vec{b} \cdot \vec{OP} > 0$ を満たすようにとる。直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。 (1) $\vec{MQ}$ と $\vec{b}$ が平行であることを示す。 (2) $|\vec{MQ}| = \frac{1}{2}(|\vec{OA}| + |\vec{OB}|)$ であることを示す。

1. 問題の内容

平面上の三角形OABにおいて、辺ABの中点をMとする。ベクトル $\vec{a} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}$、$\vec{b} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|}$ とする。点Pを $\vec{a} \cdot \vec{OP} = -\vec{b} \cdot \vec{OP} > 0$ を満たすようにとる。直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。

(1) $\vec{MQ}$ と $\vec{b}$ が平行であることを示す。

(2) $|\vec{MQ}| = \frac{1}{2}(|\vec{OA}| + |\vec{OB}|)$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OP}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の二等分線であるから、ある実数 $k > 0$ を用いて、$\vec{OP} = k(\vec{a} - \vec{b})$ と表せる。

$Q$ は直線OP上にあるので、ある実数 $t$ を用いて、$\vec{OQ} = t \vec{OP} = tk(\vec{a} - \vec{b})$ と表せる。

また、$\vec{AQ} \perp \vec{OP}$ なので、$\vec{AQ} \cdot \vec{OP} = 0$ が成り立つ。

$\vec{AQ} = \vec{OQ} - \vec{OA}$ より、$(\vec{OQ} - \vec{OA}) \cdot \vec{OP} = 0$。

$(tk(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{OA}) \cdot k(\vec{a} - \vec{b}) = 0$。

$tk^2 (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) - k \vec{OA} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$。

$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1$ であるから、

$tk^2 (2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}) - k |\vec{OA}| (1 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$。

$t = \frac{|\vec{OA}|}{2k}$。

$\vec{OQ} = \frac{|\vec{OA}|}{2}(\vec{a} - \vec{b})$。

$\vec{OM} = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})$。

$\vec{MQ} = \vec{OQ} - \vec{OM} = \frac{|\vec{OA}|}{2} (\vec{a} - \vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{|\vec{OA}|}{2} \vec{a} - \frac{|\vec{OA}|}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} |\vec{OA}| \vec{a} - \frac{1}{2} |\vec{OB}| \vec{b} = - \frac{1}{2} (|\vec{OA}| + |\vec{OB}|) \vec{b}$。

よって、$\vec{MQ}$ と $\vec{b}$ は平行である。

(2) $\vec{MQ} = - \frac{1}{2} (|\vec{OA}| + |\vec{OB}|) \vec{b}$ より、

$|\vec{MQ}| = \frac{1}{2} (|\vec{OA}| + |\vec{OB}|) |\vec{b}| = \frac{1}{2} (|\vec{OA}| + |\vec{OB}|)$。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{MQ}$ と $\vec{b}$ は平行である。

(2) $|\vec{MQ}| = \frac{1}{2}(|\vec{OA}| + |\vec{OB}|)$