2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点をもつような定数 $r$ の値の範囲を求める。ただし、$r > 0$ とする。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点をもつような定数 $r$ の値の範囲を求める。ただし、$r > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、2つ目の円の方程式を変形して、中心と半径を求める。

$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ を平方完成すると、

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

よって、2つ目の円の中心は $(3, -2)$ 、半径は $3$ である。

2つの円が異なる2つの共有点をもつためには、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さく、2つの円の半径の差の絶対値よりも大きくなければならない。

1つ目の円の中心は $(0, 0)$ 、半径は $r$ である。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

したがって、以下の条件を満たす必要がある。

$|r - 3| < \sqrt{13} < r + 3$

まず、$|r - 3| < \sqrt{13}$ を解く。

$-\sqrt{13} < r - 3 < \sqrt{13}$

$3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$

次に、$\sqrt{13} < r + 3$ を解く。

$r > \sqrt{13} - 3$

したがって、$3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$ かつ $r > \sqrt{13} - 3$ を満たす $r$ の範囲を求める。

$r > 0$ であることから、$r > 3 - \sqrt{13}$ は常に成り立つ。

よって、$\sqrt{13} - 3 < r < \sqrt{13} + 3$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{13} - 3 < r < \sqrt{13} + 3$