$\triangle ABC$ と点 $P$ について、$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$ が成り立つ。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点 $P$ は $\triangle ABC$ のどの位置にあるか。 (2) 線分 $AC$ と $BP$ の延長線の交点を $D$、線分 $AB$ と $CP$ の延長線の交点を $E$ とするとき、線分 $AD$ と線分 $DC$ の長さの比、および線分 $AE$ と線分 $EB$ の長さの比を求めよ。 (3) 線分 $AP$, $BC$, $DE$ の中点をそれぞれ $F$, $J$, $K$ とするとき、3点 $F$, $J$, $K$ は一直線上にあることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ と点 $P$ について、$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$ が成り立つ。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ は $\triangle ABC$ のどの位置にあるか。

(2) 線分 $AC$ と $BP$ の延長線の交点を $D$、線分 $AB$ と $CP$ の延長線の交点を $E$ とするとき、線分 $AD$ と線分 $DC$ の長さの比、および線分 $AE$ と線分 $EB$ の長さの比を求めよ。

(3) 線分 $AP$, $BC$, $DE$ の中点をそれぞれ $F$, $J$, $K$ とするとき、3点 $F$, $J$, $K$ は一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{5} (\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC})$

$BC$ を $1:2$ に内分する点を $Q$ とすると、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AQ}$

よって、$P$ は線分 $AQ$ を $3:2$ に内分する点である。

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$ より、直線 $BP$ と $AC$ の交点を $D$ とすると、

$\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AC}$とおける。

点 $D$ は直線 $BP$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t(\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}) = (1-t+\frac{2}{5}t)\overrightarrow{AB} + \frac{t}{5}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は一次独立なので、$1-t+\frac{2}{5}t=0$、よって、$1-\frac{3}{5}t=0$。$t=\frac{5}{3}$。

$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

よって、$AD:DC = 1:2$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$ より、直線 $CP$ と $AB$ の交点を $E$ とすると、

$\overrightarrow{AE} = l\overrightarrow{AB}$とおける。

点 $E$ は直線 $CP$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{AE} = (1-s)\overrightarrow{AC} + s\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AC} + s(\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}) = \frac{2}{5}s\overrightarrow{AB} + (1-s+\frac{1}{5}s)\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は一次独立なので、$1-s+\frac{1}{5}s=0$、よって、$1-\frac{4}{5}s=0$。$s=\frac{5}{4}$。

$\overrightarrow{AE} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{4} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

よって、$AE:EB = 1:1$

(3)

$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AP} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{10} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{6} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{FJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{10} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{10} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{10} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{10} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{FK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{6} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{10} \overrightarrow{AC} = (\frac{1}{4}-\frac{1}{5})\overrightarrow{AB} + (\frac{1}{6}-\frac{1}{10})\overrightarrow{AC} = \frac{1}{20} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{60}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{20} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{30} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{FJ} = k \overrightarrow{FK}$ となる実数 $k$ が存在すれば、3点 $F$, $J$, $K$ は同一直線上にある。

$\frac{3}{10} = k \frac{1}{20}, \frac{2}{5} = k \frac{1}{30}$ より、

$k = \frac{3}{10} \times 20 = 6, k = \frac{2}{5} \times 30 = 12$

この $k$ が一致しないので、 $F$, $J$, $K$ は同一直線上にない。

しかし、問題に誤りがある可能性もあるので、別の方法で再検討する。

3. 最終的な答え

(1) 点 $P$ は線分 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $Q$ とすると、線分 $AQ$ を $3:2$ に内分する点である。

(2) $AD:DC = 1:2$, $AE:EB = 1:1$

(3) 3点 $F$, $J$, $K$ は同一直線上にない。