三角形ABCがあり、内角A, B, C内にある傍心をそれぞれP, Q, Rとする。三角形ABC, PQRの面積をそれぞれS, Tとする。 (1) a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とするとき、P, Q, Rを中心とする傍接円の半径をr1, r2, r3とするとき、$\frac{r_1}{S}, \frac{r_2}{S}, \frac{r_3}{S}$をa, b, cを用いて表す。 (2) $x = \frac{-a+b+c}{2}, y = \frac{a-b+c}{2}, z = \frac{a+b-c}{2}$とするとき、$\frac{T}{S}$をx, y, zにより表す。 (3) 不等式$T \geq 4S$を証明せよ。また、等号が成立するのはどのようなときか答えよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、内角A, B, C内にある傍心をそれぞれP, Q, Rとする。三角形ABC, PQRの面積をそれぞれS, Tとする。

(1) a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とするとき、P, Q, Rを中心とする傍接円の半径をr1, r2, r3とするとき、$\frac{r_1}{S}, \frac{r_2}{S}, \frac{r_3}{S}$をa, b, cを用いて表す。

(2) $x = \frac{-a+b+c}{2}, y = \frac{a-b+c}{2}, z = \frac{a+b-c}{2}$とするとき、$\frac{T}{S}$をx, y, zにより表す。

(3) 不等式$T \geq 4S$を証明せよ。また、等号が成立するのはどのようなときか答えよ。

2. 解き方の手順

(1)

ヘロンの公式より、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$、ただし、$s = \frac{a+b+c}{2}$

傍接円の半径について、$S = (s-a)r_1 = (s-b)r_2 = (s-c)r_3$

よって、$r_1 = \frac{S}{s-a}, r_2 = \frac{S}{s-b}, r_3 = \frac{S}{s-c}$

したがって、$\frac{r_1}{S} = \frac{1}{s-a} = \frac{2}{b+c-a}, \frac{r_2}{S} = \frac{1}{s-b} = \frac{2}{a+c-b}, \frac{r_3}{S} = \frac{1}{s-c} = \frac{2}{a+b-c}$

(2)

三角形PQRについて、その面積Tは、$T = \frac{abc}{2r} = 2Rs$と表される。ここでRは三角形ABCの外接円の半径であり、$r = \frac{S}{s}$は内接円の半径。

また、$x = s-a, y = s-b, z = s-c$である。

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(x+y+z)xyz}$

$\frac{T}{S} = \frac{abc}{2rS} = \frac{abc}{2\frac{S}{s}S} = \frac{abcs}{2S^2} = \frac{abcs}{2s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{abc}{2xyz}$

正弦定理より$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

また、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$より、$\sin C = \frac{2S}{ab}$. $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\frac{T}{S} = \frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{2xyz}$

(3)

$T \geq 4S$を示す。

$\frac{T}{S} \geq 4$

$\frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{2xyz} \geq 4$

$(y+z)(x+z)(x+y) \geq 8xyz$

相加相乗平均の不等式より、

$y+z \geq 2\sqrt{yz}, x+z \geq 2\sqrt{xz}, x+y \geq 2\sqrt{xy}$

$(y+z)(x+z)(x+y) \geq 8\sqrt{yz}\sqrt{xz}\sqrt{xy} = 8xyz$

よって、$T \geq 4S$

等号が成立するのは、$x=y=z$のとき、つまり、$a=b=c$のとき。三角形ABCが正三角形のとき。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{r_1}{S} = \frac{2}{b+c-a}, \frac{r_2}{S} = \frac{2}{a+c-b}, \frac{r_3}{S} = \frac{2}{a+b-c}$

(2) $\frac{T}{S} = \frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{2xyz}$

(3) $T \geq 4S$. 等号成立は$a=b=c$のとき。すなわち、三角形ABCが正三角形のとき。