問題 (5) は、$\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos\theta$ の値を求める問題です。 問題 (6) は、$\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\tan\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題 (5) は、$\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos\theta$ の値を求める問題です。

問題 (6) は、$\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\tan\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(5) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ という三角関数の基本的な関係式を利用します。$\sin\theta = \frac{3}{4}$ を代入して、$\cos\theta$ を求めます。

$\theta$ は鋭角なので、$\cos\theta > 0$ であることに注意します。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$(\frac{3}{4})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{9}{16} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{16}$

$\cos^2\theta = \frac{16 - 9}{16}$

$\cos^2\theta = \frac{7}{16}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{7}{16}}$

$\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\theta$ は鋭角であるから $\cos\theta > 0$ なので、$\cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(6) $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ という関係式を利用します。$\sin\theta = \frac{3}{4}$ であり、(5) で $\cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ と求めたので、代入して $\tan\theta$ を求めます。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\tan\theta = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$

$\tan\theta = \frac{3}{4} \times \frac{4}{\sqrt{7}}$

$\tan\theta = \frac{3}{\sqrt{7}}$

有理化すると

$\tan\theta = \frac{3}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

$\tan\theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

(5) $\cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

アは4、イは7。

(6) $\tan\theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

アは7、イは7、ウは3。