ベクトル $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (8, \sqrt{3}+1, \sqrt{3}-1)$, $\vec{c} = (3, 3, 1)$ について、以下のものを求めます。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ (3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 (4) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトル $\vec{v}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (8, \sqrt{3}+1, \sqrt{3}-1)$, $\vec{c} = (3, 3, 1)$ について、以下のものを求めます。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$

(3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角

(4) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトル $\vec{v}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(8) + (1)(\sqrt{3}+1) + (-1)(\sqrt{3}-1)$

$= 16 + \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1$

$= 18$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(3) + (1)(3) + (-1)(1)$

$= 6 + 3 - 1$

$= 8$

(3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

まず、 $|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

次に、 $|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{64 + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + (3 - 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{64 + 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{18}{\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{18}{6\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$ (または 30度)

(4) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトル $\vec{v}$ を求める。

$\vec{v}$ は $\vec{a} \times \vec{c}$ と平行である。

$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (-1)(3) \\ (-1)(3) - (2)(1) \\ (2)(3) - (1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ -3 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$

$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$\vec{v} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{c}}{|\vec{a} \times \vec{c}|} = \pm \frac{1}{5\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{4}{5\sqrt{2}} \\ -\frac{5}{5\sqrt{2}} \\ \frac{3}{5\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{2}}{5} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{10} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{c} = 8$

(3) $\theta = \frac{\pi}{6}$ (または 30度)

(4) $\vec{v} = \pm \begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{2}}{5} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{10} \end{pmatrix}$