円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3, BC=5, CD=5, \angle B = 120^\circ$ のとき、次のものを求める。 (1) ACの長さ (2) ADの長さ (3) 四角形ABCDの面積S

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3, BC=5, CD=5, \angle B = 120^\circ$ のとき、次のものを求める。

(1) ACの長さ

(2) ADの長さ

(3) 四角形ABCDの面積S

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

$\triangle ABC$に余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 34 + 15 = 49$

$AC = 7$

(2) ADの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。

$\triangle ACD$に余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$

$7^2 = AD^2 + 5^2 - 2 \cdot AD \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$

$49 = AD^2 + 25 - 10 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$AD^2 - 5AD - 24 = 0$

$(AD - 8)(AD + 3) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 8$

(3) 四角形ABCDの面積Sを求める。

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABC$の面積と$\triangle ACD$の面積の和である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin D = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$S = \triangle ABC + \triangle ACD = \frac{15\sqrt{3}}{4} + 10\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} + 40\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: 7

(2) ADの長さ: 8

(3) 四角形ABCDの面積S: $\frac{55\sqrt{3}}{4}$