美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残り6人の生徒から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。 (2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残り6人の生徒から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。

(2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_3C_3 = 1$ 通り。

残り6人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

したがって、全部で $1 \times 15 = 15$ 通り。

(2) 9人を2人、3人、4人のグループに分ける分け方は、

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$ 通り。

各グループに美術部の部員が1人ずつ入る分け方を考える。

まず、美術部員3人を2人、3人、4人のグループに割り当てる方法は1通り。

次に、書道部員3人、合唱部員3人を残りの枠に割り当てる。

2人のグループには残り1枠、3人のグループには残り2枠、4人のグループには残り3枠がある。

2人のグループには書道部員または合唱部員を1人選ぶ。これは ${}_6C_1 = 6$ 通り。

3人のグループには残り2枠に5人から2人を選ぶ。 ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

4人のグループには残りの3人を選ぶので ${}_3C_3 = 1$ 通り。

したがって、各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方は $6 \times 10 \times 1 = 60$ 通り。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

2人のグループが美術部員のみの場合：美術部3人から2人を選ぶ ${}_3C_2 = 3$ 通り。残りの7人を3人と4人に分ける。 $\frac{7!}{3!4!} = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$ 通り。よって$3\times 35=105$通り。

2人のグループが書道部員のみの場合：書道部3人から2人を選ぶ ${}_3C_2 = 3$ 通り。残りの7人を3人と4人に分ける。 $\frac{7!}{3!4!} = 35$ 通り。よって$3\times 35=105$通り。

2人のグループが合唱部員のみの場合：合唱部3人から2人を選ぶ ${}_3C_2 = 3$ 通り。残りの7人を3人と4人に分ける。 $\frac{7!}{3!4!} = 35$ 通り。よって$3\times 35=105$通り。

全部で $105+105+105 = 315$ 通り。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方を考える。これは全体の分け方から、1つの部の部員だけで構成されたグループが存在する場合の数を引けばよい。

全体の分け方は1260通り。1つの部の部員だけで構成されたグループが存在する場合の数は2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合で計算した315通り。

したがって $1260 - 315 = 945$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り、60通り

(3) 315通り、945通り