高さが $3\sqrt{3}$ cm、体積が $36$ cm$^3$ の直方体がある。底面の長方形の縦の長さが $\sqrt{6}$ cm のとき、底面の長方形の横の長さを求めよ。

1. 問題の内容

高さが $3\sqrt{3}$ cm、体積が $36$ cm$^3$ の直方体がある。底面の長方形の縦の長さが $\sqrt{6}$ cm のとき、底面の長方形の横の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

直方体の体積は、底面積×高さ で求められる。

底面積を $S$, 高さを $h$, 体積を $V$ とすると、

$V = S \times h$

底面積 $S$ は、長方形の面積なので、縦の長さを $a$, 横の長さを $b$ とすると、

$S = a \times b$

与えられた条件より、

$h = 3\sqrt{3}$ cm

$V = 36$ cm$^3$

$a = \sqrt{6}$ cm

これらの値を $V = S \times h$ に代入すると、

$36 = S \times 3\sqrt{3}$

$S = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

分母の有理化を行うと、

$S = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ cm$^2$

次に、$S = a \times b$ に $S = 4\sqrt{3}$ cm$^2$、$a = \sqrt{6}$ cm を代入すると、

$4\sqrt{3} = \sqrt{6} \times b$

$b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$ cm