与えられた積分 $\int x3^{x^2+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x3^{x^2+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = x^2 + 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

これを用いて積分を書き換えます。

$\int x3^{x^2+1} dx = \int 3^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 3^u du$

次に、$3^u$ の積分を行います。

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ という公式を利用します。

$\frac{1}{2} \int 3^u du = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^u}{\ln 3} + C = \frac{3^u}{2\ln 3} + C$

最後に、$u = x^2 + 1$ を代入して、$x$ の式に戻します。

$\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C$