与えられた積分 $\int x3^{x^2+1} dx$ を計算します。

解析学積分置換積分指数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた積分 x3x2+1dx\int x3^{x^2+1} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。
u=x2+1u = x^2 + 1 と置くと、dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x となります。
したがって、xdx=12dux dx = \frac{1}{2} du となります。
これを用いて積分を書き換えます。
x3x2+1dx=3u12du=123udu\int x3^{x^2+1} dx = \int 3^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 3^u du
次に、3u3^u の積分を行います。
axdx=axlna+C\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C という公式を利用します。
123udu=123uln3+C=3u2ln3+C\frac{1}{2} \int 3^u du = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^u}{\ln 3} + C = \frac{3^u}{2\ln 3} + C
最後に、u=x2+1u = x^2 + 1 を代入して、xx の式に戻します。
3x2+12ln3+C\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C

3. 最終的な答え

3x2+12ln3+C\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C

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