与えられた積分 $\int x3^{x^2+1} dx$ を計算します。解析学積分置換積分指数関数2025/7/91. 問題の内容与えられた積分 ∫x3x2+1dx\int x3^{x^2+1} dx∫x3x2+1dx を計算します。2. 解き方の手順まず、置換積分を行います。u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1 と置くと、dudx=2x\frac{du}{dx} = 2xdxdu=2x となります。したがって、xdx=12dux dx = \frac{1}{2} duxdx=21du となります。これを用いて積分を書き換えます。∫x3x2+1dx=∫3u⋅12du=12∫3udu\int x3^{x^2+1} dx = \int 3^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 3^u du∫x3x2+1dx=∫3u⋅21du=21∫3udu次に、3u3^u3u の積分を行います。∫axdx=axlna+C\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C∫axdx=lnaax+C という公式を利用します。12∫3udu=12⋅3uln3+C=3u2ln3+C\frac{1}{2} \int 3^u du = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^u}{\ln 3} + C = \frac{3^u}{2\ln 3} + C21∫3udu=21⋅ln33u+C=2ln33u+C最後に、u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1 を代入して、xxx の式に戻します。3x2+12ln3+C\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C2ln33x2+1+C3. 最終的な答え3x2+12ln3+C\frac{3^{x^2+1}}{2\ln 3} + C2ln33x2+1+C