次の極限を求めよ。 $\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ を計算します。

$x$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{x}$ は0に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

次に、対数の性質を利用します。$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$ において、$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$となるので、

$\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} = \log_{\frac{1}{2}} 0$　　を考えます。

$\log_{\frac{1}{2}} y$ は、$y$ が 0 に近づくと無限大に発散します。具体的には、$y \to 0$ のとき、$\log_{\frac{1}{2}} y \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$