与えられた集合 $X$ と $Y$, および写像 $f: X \to Y$ に対して、それが全射か単射かを判定し、判定理由を述べ、全単射なら逆写像を求める問題です。 具体的には、以下の8つの写像について判定します。 (1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$ (2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$ (3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$ (4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$ (5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$ (6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$ (7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$ (8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

1. 問題の内容

与えられた集合 $X$ と $Y$, および写像 $f: X \to Y$ に対して、それが全射か単射かを判定し、判定理由を述べ、全単射なら逆写像を求める問題です。

具体的には、以下の8つの写像について判定します。

(1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$

(2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$

(3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$

(4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$

(5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$

(6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$

(7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$

(8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

2. 解き方の手順

各写像について、全射性、単射性を調べます。

* **全射性:** 任意の $y \in Y$ に対して、ある $x \in X$ が存在し、$f(x) = y$ となるかを調べます。

* **単射性:** 任意の $x_1, x_2 \in X$ に対して、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ となるかを調べます。

* 全単射である場合、逆写像 $f^{-1}: Y \to X$ を求めます。

**解答:**

(1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$

* **全射性:** 任意の $y \in (0, \infty)$ に対して、$e^{2x-3} = y$ となる $x$ を求めます。 $2x - 3 = \ln y$ より、$x = \frac{\ln y + 3}{2}$ となり、$x \in \mathbb{R}$ です。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1) = f(x_2)$ とすると、$e^{2x_1-3} = e^{2x_2-3}$ より、$2x_1 - 3 = 2x_2 - 3$ なので、$x_1 = x_2$。 よって単射です。

全単射なので逆写像を求めます。 $y = e^{2x-3}$ に対して、$x = \frac{\ln y + 3}{2}$。 よって、$f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$。

* **結論:** 全単射。 $f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$

(2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$

* **全射性:** 任意の $y \in \mathbb{R} \setminus \{c\}$ に対して、$\frac{1}{x-a} + c = y$ となる $x$ を求めます。 $\frac{1}{x-a} = y - c$ より、$x - a = \frac{1}{y-c}$ なので、$x = \frac{1}{y-c} + a$。 $y \neq c$ より $x$ は存在し、$x \neq a$ です。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1) = f(x_2)$ とすると、$\frac{1}{x_1-a} + c = \frac{1}{x_2-a} + c$ より、$\frac{1}{x_1-a} = \frac{1}{x_2-a}$ なので、$x_1 - a = x_2 - a$ となり、$x_1 = x_2$。 よって単射です。

全単射なので逆写像を求めます。 $y = \frac{1}{x-a} + c$ に対して、$x = \frac{1}{y-c} + a$。 よって、$f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$。

* **結論:** 全単射。 $f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$

(3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$

* **全射性:** 任意の $y \in [2, \infty)$ に対して、$x^2 + 2 = y$ となる $x$ を求めます。 $x^2 = y - 2$ より、$x = \pm \sqrt{y-2}$。 $y \ge 2$ なので、$x$ は実数として存在します。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1) = f(x_2)$ とすると、$x_1^2 + 2 = x_2^2 + 2$ より、$x_1^2 = x_2^2$ なので、$x_1 = \pm x_2$。 例えば、$x_1 = 1, x_2 = -1$ のとき、$f(1) = f(-1) = 3$ となりますが、$x_1 \neq x_2$。 よって単射ではありません。

* **結論:** 全射だが単射ではない。

(4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$

$f(x) = |2|x| - 1| = |2|x| -1|$ ではなく $f(x) = 2|x| - 1$ と解釈する。

* **全射性:** 任意の $y \in [0, 1]$ に対して、$2|x| - 1 = y$ となる $x$ を求めます。 $2|x| = y + 1$ より、$|x| = \frac{y+1}{2}$。 $0 \le y \le 1$ より、$\frac{1}{2} \le \frac{y+1}{2} \le 1$ なので、$|x| = \frac{y+1}{2}$ となる $x$ は $[-1, 1]$ に存在します。 $x = \pm \frac{y+1}{2}$ なので、全射です。

* **単射性:** $f(x_1) = f(x_2)$ とすると、$2|x_1| - 1 = 2|x_2| - 1$ より、$|x_1| = |x_2|$ なので、$x_1 = \pm x_2$。 例えば、$x_1 = 0.5, x_2 = -0.5$ のとき、$f(0.5) = f(-0.5) = 0$ となりますが、$x_1 \neq x_2$。 よって単射ではありません。

* **結論:** 全射だが単射ではない。

(5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$

* **全射性:** 任意の $z \in \mathbb{R}$ に対して、$x + y = z$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ を求めます。 例えば、$x = 0$ とすれば、$y = z$ となり、$(0, z) \in \mathbb{R}^2$ です。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ とすると、$x_1 + y_1 = x_2 + y_2$ です。 例えば、$(x_1, y_1) = (1, 2)$ と $(x_2, y_2) = (2, 1)$ のとき、$f(1, 2) = f(2, 1) = 3$ ですが、$(1, 2) \neq (2, 1)$ なので、単射ではありません。

* **結論:** 全射だが単射ではない。

(6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$

* **全射性:** 任意の $z \in [0, \infty)$ に対して、$x^2 + y^2 = z$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ を求めます。 例えば、$x = \sqrt{z}, y = 0$ とすれば、$x^2 + y^2 = z$ となります。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ とすると、$x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2$ です。 例えば、$(x_1, y_1) = (1, 1)$ と $(x_2, y_2) = (\sqrt{2}, 0)$ のとき、$f(1, 1) = f(\sqrt{2}, 0) = 2$ ですが、$(1, 1) \neq (\sqrt{2}, 0)$ なので、単射ではありません。

* **結論:** 全射だが単射ではない。

(7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$

* **全射性:** 任意の $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ に対して、$(-x, -y) = (u, v)$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ を求めます。 $x = -u, y = -v$ とすれば、$(x, y) = (-u, -v) \in \mathbb{R}^2$ です。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ とすると、 $(-x_1, -y_1) = (-x_2, -y_2)$ より、 $x_1 = x_2, y_1 = y_2$ となり、$(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$ です。 よって単射です。

全単射なので逆写像を求めます。 $(u, v) = (-x, -y)$ に対して、 $(x, y) = (-u, -v)$ なので、$f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$。

* **結論:** 全単射。 $f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$

(8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

* **全射性:** 任意の $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ に対して、$(-y, x) = (u, v)$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ を求めます。 $x = v, y = -u$ とすれば、$(x, y) = (v, -u) \in \mathbb{R}^2$ です。 よって全射です。

* **単射性:** $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ とすると、 $(-y_1, x_1) = (-y_2, x_2)$ より、 $x_1 = x_2, y_1 = y_2$ となり、$(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$ です。 よって単射です。

全単射なので逆写像を求めます。 $(u, v) = (-y, x)$ に対して、 $(x, y) = (v, -u)$ なので、$f^{-1}(u, v) = (v, -u)$。

* **結論:** 全単射。 $f^{-1}(u, v) = (v, -u)$

3. 最終的な答え

(1) 全単射。 $f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$

(2) 全単射。 $f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$

(3) 全射だが単射ではない。

(4) 全射だが単射ではない。

(5) 全射だが単射ではない。

(6) 全射だが単射ではない。

(7) 全単射。 $f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$

(8) 全単射。 $f^{-1}(u, v) = (v, -u)$