関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ (ただし、$a > 0, b \neq 0$) で表される曲線 C が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。 (2) 曲線 C 上で、$y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求めます。 (3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求めます。 (4) 曲線 C を図示します。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ (ただし、$a > 0, b \neq 0$) で表される曲線 C が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。

(2) 曲線 C 上で、$y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求めます。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求めます。

(4) 曲線 C を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 特異点を持つ条件を求める

特異点を持つとき、$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ が成り立ちます。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3ay$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3ax$

したがって、

$x^2 = ay$

$y^2 = ax$

これらを解くと、$x^4 = a^2 y^2 = a^3 x$ となり、$x(x^3 - a^3) = 0$。

よって、$x = 0$ または $x = a$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 0$。このとき、$f(0, 0) = 0 = b$ となり、$b \neq 0$ に矛盾します。

$x = a$ のとき、$y = a$。このとき、$f(a, a) = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3 = b$。

したがって、$b = -a^3$ が求める条件です。

(2) $y = mx + n$ が恒等的に満たされる条件を求める

$x^3 - 3axy + y^3 = b$ に $y = mx + n$ を代入します。

$x^3 - 3ax(mx+n) + (mx+n)^3 = b$

$x^3 - 3amx^2 - 3anx + m^3 x^3 + 3m^2 n x^2 + 3mn^2 x + n^3 = b$

$(1+m^3) x^3 + (3m^2 n - 3am) x^2 + (3mn^2 - 3an) x + (n^3 - b) = 0$

これが恒等的に成り立つためには、各係数が 0 になる必要があります。

$1 + m^3 = 0 \implies m = -1$

$3m^2 n - 3am = 0 \implies 3n + 3a = 0 \implies n = -a$

$3mn^2 - 3an = 0 \implies 3(-1)(-a)^2 - 3a(-a) = -3a^2 + 3a^2 = 0$

$n^3 - b = 0 \implies (-a)^3 - b = 0 \implies b = -a^3$ (これは(1)で求めた条件と同じです)

したがって、$m = -1$, $n = -a$ です。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解を求める

$x^2 - x(y+a) + (y^2 - ay + a^2) = 0$

$x = \frac{(y+a) \pm \sqrt{(y+a)^2 - 4(y^2 - ay + a^2)}}{2}$

$x = \frac{(y+a) \pm \sqrt{y^2 + 2ay + a^2 - 4y^2 + 4ay - 4a^2}}{2}$

$x = \frac{(y+a) \pm \sqrt{-3y^2 + 6ay - 3a^2}}{2}$

$x = \frac{(y+a) \pm \sqrt{-3(y-a)^2}}{2}$

実数解を持つためには、$y = a$ でなければなりません。このとき、$x = \frac{a+a}{2} = a$。

したがって、解は $(x, y) = (a, a)$ です。

(4) 曲線 C を図示する

$f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ を図示します。$b = -a^3$ のとき、特異点を持ちます。

また、$y = -x - a$ は漸近線になります。

3. 最終的な答え

(1) $b = -a^3$

(2) $m = -1, n = -a$

(3) $(x, y) = (a, a)$

(4) 曲線Cは、$b = -a^3$のとき、特異点 $(a, a)$ を持つ。漸近線は $y = -x - a$。

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1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ について、特異点を持つときの条件、直線 $y=mx+n$ が曲線 C 上で恒等的に満たされる条件、方程式 $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解、および曲線 C の図示を求めます。ただし、$a > 0, b \neq 0$ です。

2. 解き方の手順

(1) 特異点を持つ条件

特異点では $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ となります。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3ay = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3ax = 0$

これから、$x^2 = ay$ かつ $y^2 = ax$ が得られます。

これらの式から $x^4 = a^2y^2 = a^3x$ を得て、$x(x^3 - a^3) = 0$。

したがって、$x=0$ または $x=a$ です。

$x=0$ のとき、$y=0$ で、$f(0,0) = 0 = b$ となり、$b \neq 0$ に矛盾します。

$x=a$ のとき、$y=a$ で、$f(a,a) = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3 = b$。

よって、$b = -a^3$ が条件です。

(2) $y=mx+n$ が恒等的に満たされる条件

$x^3 - 3ax(mx+n) + (mx+n)^3 = b$ を展開し、$x$ について整理します。

$(1+m^3)x^3 + (3m^2n - 3am)x^2 + (3mn^2 - 3an)x + (n^3 - b) = 0$

これが恒等的に成り立つためには、すべての係数が 0 でなければなりません。

$1+m^3 = 0 \implies m = -1$

$3m^2n - 3am = 0 \implies 3n + 3a = 0 \implies n = -a$

$3mn^2 - 3an = 0 \implies -3a^2 + 3a^2 = 0$

$n^3 - b = 0 \implies -a^3 - b = 0 \implies b = -a^3$

したがって、$m = -1, n = -a$ です。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解

$x^2 - (y+a)x + (y^2 - ay + a^2) = 0$

$x = \frac{(y+a) \pm \sqrt{(y+a)^2 - 4(y^2 - ay + a^2)}}{2}$

$x = \frac{(y+a) \pm \sqrt{-3(y-a)^2}}{2}$

実数解を持つためには、$y=a$ でなければなりません。このとき、$x = \frac{a+a}{2} = a$。

したがって、解は $(x, y) = (a, a)$ です。

(4) 曲線 C の図示

$f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ は、$b=-a^3$ のとき特異点 $(a, a)$ を持ちます。また、$y = -x - a$ は漸近線になります。曲線は一般に葉のような形状をしています。

3. 最終的な答え

(1) $b = -a^3$

(2) $m = -1, n = -a$

(3) $(x, y) = (a, a)$

(4) $b = -a^3$ のとき特異点 $(a, a)$ を持ち、漸近線は $y = -x - a$ となる曲線。

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