以下の不定積分を計算します。積分定数は省略します。 (1) $\int xe^x dx$ (2) $\int (3x+2)\sin x dx$ (3) $\int x\log x dx$ (4) $\int x (\log x)^2 dx$ (5) $\int \cos^{-1} x dx$ (6) $\int \cos x \log(\sin x) dx$

了解しました。画像に記載された問題のうち、(1) $\int xe^x dx$、(2) $\int (3x+2)\sin x dx$、(3) $\int x\log x dx$、(4) $\int x (\log x)^2 dx$、(5) $\int \cos^{-1} x dx$、(6) $\int \cos x \log(\sin x) dx$ の不定積分を計算します。

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。積分定数は省略します。

(1) $\int xe^x dx$

(2) $\int (3x+2)\sin x dx$

(3) $\int x\log x dx$

(4) $\int x (\log x)^2 dx$

(5) $\int \cos^{-1} x dx$

(6) $\int \cos x \log(\sin x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int xe^x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$ より

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(2) $\int (3x+2)\sin x dx$

部分積分を行います。$u = 3x+2$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = 3 dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int (3x+2)\sin x dx = -(3x+2)\cos x - \int (-\cos x) 3 dx = -(3x+2)\cos x + 3\int \cos x dx = -(3x+2)\cos x + 3\sin x + C$

(3) $\int x\log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x\log x dx = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{1}{2}\int x dx = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4}(2\log x - 1) + C$

(4) $\int x (\log x)^2 dx$

部分積分を行います。$u = (\log x)^2$, $dv = x dx$ とすると、$du = 2\log x \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x (\log x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \int \frac{x^2}{2} 2\log x \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \int x \log x dx = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - (\frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4}) + C = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \frac{x^2}{2}\log x + \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4}(2(\log x)^2 - 2\log x + 1) + C$

(5) $\int \cos^{-1} x dx$

部分積分を行います。$u = \cos^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \int x (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) dx = x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。 $t = 1-x^2$ とすると、$dt = -2x dx$ なので、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \cos x \log(\sin x) dx$

置換積分を行います。$t = \sin x$ とすると、$dt = \cos x dx$ となります。

$\int \cos x \log(\sin x) dx = \int \log t dt$

部分積分を行います。$u = \log t$, $dv = dt$ とすると、$du = \frac{1}{t} dt$, $v = t$ となります。

$\int \log t dt = t\log t - \int t \frac{1}{t} dt = t\log t - \int 1 dt = t\log t - t + C = \sin x \log(\sin x) - \sin x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^x dx = (x-1)e^x + C$

(2) $\int (3x+2)\sin x dx = -(3x+2)\cos x + 3\sin x + C$

(3) $\int x\log x dx = \frac{x^2}{4}(2\log x - 1) + C$

(4) $\int x (\log x)^2 dx = \frac{x^2}{4}(2(\log x)^2 - 2\log x + 1) + C$

(5) $\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \cos x \log(\sin x) dx = \sin x \log(\sin x) - \sin x + C$