関数 $y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1$ の増減表を作成し、グラフを描画する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 1$ の増減表を作成し、グラフを描画する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、$y'$ を求めます。

$$y' = x^2 + 2x - 3$$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

$$(x + 3)(x - 1) = 0$$

$$x = -3, 1$$

次に、増減表を作成します。増減表には、$x$, $y'$, $y$ の行を含めます。$x = -3$ と $x = 1$ は $y'$ が 0 になる点です。

| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -3$ のとき、$y = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) - 1 = -9 + 9 + 9 - 1 = 8$。

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) - 1 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 1 = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}$。

増減表から、$x = -3$ で極大値 $8$ をとり、$x = 1$ で極小値 $-\frac{8}{3}$ をとることがわかります。

グラフを描画するために、いくつか点を計算します。

$x=0$ のとき、$y = -1$。

$x=-6$ のとき、$y = \frac{1}{3}(-6)^3 + (-6)^2 - 3(-6) - 1 = -72 + 36 + 18 - 1 = -19$

3. 最終的な答え

増減表：

| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 8 | 減少 | -8/3 | 増加 |

グラフ：

グラフは、$x = -3$ で極大値 8 を、$x = 1$ で極小値 $-\frac{8}{3}$ を持つ三次関数となります。また、$y$切片は $-1$ です。

（グラフの描画は省略）