座標平面上を運動する点Pの座標 $(x, y)$ が、時刻 $t$ の関数として $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 時刻 $t$ における点Pの速さを求める。 (2) 時刻 $t$ における点Pの加速度の大きさを求める。

1. 問題の内容

座標平面上を運動する点Pの座標 $(x, y)$ が、時刻 $t$ の関数として $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 時刻 $t$ における点Pの速さを求める。

(2) 時刻 $t$ における点Pの加速度の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ における点Pの速度ベクトルは、それぞれの座標を時間 $t$ で微分することで得られます。速度ベクトルの大きさ（速さ）は、各成分の2乗の和の平方根で計算できます。

まず、$x$ 成分の速度を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t$

次に、$y$ 成分の速度を計算します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

したがって、速度ベクトルの大きさ（速さ）は、

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} = \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t} = \sqrt{2(1 - \cos t)}$

ここで、$1 - \cos t = 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$ を用いると、

$\sqrt{2(1 - \cos t)} = \sqrt{4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} = 2\left|\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right|$

通常$t \geq 0$なので、$\sin\left(\frac{t}{2}\right) \geq 0$となり、$2\sin\left(\frac{t}{2}\right)$

(2) 時刻 $t$ における点Pの加速度ベクトルは、速度ベクトルの各成分を時間 $t$ で微分することで得られます。加速度ベクトルの大きさは、各成分の2乗の和の平方根で計算できます。

まず、$x$ 成分の加速度を計算します。

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

次に、$y$ 成分の加速度を計算します。

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$

したがって、加速度ベクトルの大きさは、

$\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2} = \sqrt{(\sin t)^2 + (\cos t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 時刻 $t$ における点Pの速さは $2\sin\left(\frac{t}{2}\right)$

(2) 時刻 $t$ における点Pの加速度の大きさは $1$