与えられた積分 $\int e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4})dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4})dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回繰り返して計算します。

まず、三角関数の加法定理を用いて $\sin(x+\frac{\pi}{4})$ を展開します。

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(x) + \cos(x))$

したがって、積分は次のようになります。

$\int e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4})dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \int e^{-x}(\sin(x) + \cos(x))dx$

次に、$\int e^{-x}\sin(x)dx$ と $\int e^{-x}\cos(x)dx$ を別々に計算します。

$I = \int e^{-x}\sin(x)dx$ に対して部分積分を行うと、

$u = \sin(x), dv = e^{-x}dx$ とすると、$du = \cos(x)dx, v = -e^{-x}$ なので、

$I = -e^{-x}\sin(x) + \int e^{-x}\cos(x)dx$

ここで $J = \int e^{-x}\cos(x)dx$ とすると、

$u = \cos(x), dv = e^{-x}dx$ とすると、$du = -\sin(x)dx, v = -e^{-x}$ なので、

$J = -e^{-x}\cos(x) - \int e^{-x}\sin(x)dx = -e^{-x}\cos(x) - I$

したがって、$I = -e^{-x}\sin(x) + J = -e^{-x}\sin(x) - e^{-x}\cos(x) - I$

$2I = -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x))$

$I = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x) + \cos(x))$

$J = -e^{-x}\cos(x) - I = -e^{-x}\cos(x) + \frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x) - \cos(x))$

$\int e^{-x}(\sin(x) + \cos(x))dx = I + J = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + \frac{1}{2}e^{-x}(\sin(x) - \cos(x)) = -e^{-x}\cos(x)$

よって、

$\int e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4})dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \int e^{-x}(\sin(x) + \cos(x))dx = \frac{\sqrt{2}}{2} (-e^{-x}\cos(x)) + C = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-x}\cos(x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-x}\cos(x) + C$