関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f$ が $x=a$ で連続であることの定義を、$\epsilon$ と $\delta$ を用いて述べよ。 (2) $f$ が $x=a$ で連続ならば、点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束することを示せ。 (3) 逆に、点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束するならば、$f$ は $x=a$ で連続になることを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f$ が $x=a$ で連続であることの定義を、$\epsilon$ と $\delta$ を用いて述べよ。

(2) $f$ が $x=a$ で連続ならば、点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束することを示せ。

(3) 逆に、点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束するならば、$f$ は $x=a$ で連続になることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が $x=a$ で連続であることの定義

$\epsilon-\delta$ 論法を用いると、以下のようになります。

任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、 $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

(2) $f$ が $x=a$ で連続ならば、点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束することを示す。

仮定：$f$ は $x=a$ で連続。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、 $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

また、数列 $\{x_n\}$ は $a$ に収束する。すなわち、任意の $\delta > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|x_n - a| < \delta$ が成り立つ。

示したいこと：数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束すること。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N'$ が存在し、$n > N'$ ならば $|f(x_n) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

証明：

任意の $\epsilon > 0$ をとる。

$f$ は $x=a$ で連続なので、ある $\delta > 0$ が存在し、$|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

数列 $\{x_n\}$ は $a$ に収束するので、この $\delta > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|x_n - a| < \delta$ が成り立つ。

したがって、$n > N$ ならば $|x_n - a| < \delta$ より $|f(x_n) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

よって、数列 $\{f(x_n)\}$ は $f(a)$ に収束する。

(3) 逆に、点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束するならば、$f$ は $x=a$ で連続になることを示す。

背理法を用いる。

仮定：点 $a$ に収束する任意の数列 $\{x_n\}$ に対し数列 $\{f(x_n)\}$ が $f(a)$ に収束する。

結論の否定：$f$ は $x=a$ で連続ではない。すなわち、ある $\epsilon > 0$ が存在し、任意の $\delta > 0$ に対して、 $|x - a| < \delta$ かつ $|f(x) - f(a)| \ge \epsilon$ を満たす $x$ が存在する。

任意の自然数 $n$ に対して、$\delta = \frac{1}{n}$ とする。

この $\delta$ に対して、$|x_n - a| < \frac{1}{n}$ かつ $|f(x_n) - f(a)| \ge \epsilon$ を満たす $x_n$ が存在する。

こうして得られた数列 $\{x_n\}$ は $a$ に収束する。なぜなら、$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ であるから。

しかし、仮定より数列 $\{f(x_n)\}$ は $f(a)$ に収束するはずである。

すなわち、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|f(x_n) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

これは、$|f(x_n) - f(a)| \ge \epsilon$ であることに矛盾する。

したがって、$f$ は $x=a$ で連続である。

3. 最終的な答え

(1) 任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、 $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つ。

(2) 証明は上記の通り

(3) 証明は上記の通り