与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

## (6) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分法または変数変換を使って積分を計算します。ここでは変数変換を使います。

まず、$u = x+1$ と置換します。このとき、$x = u-1$ となり、$du = dx$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$

次に、積分を計算します。

$\int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \int u^{1/2} du - \int u^{-1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} + C$

ここで、$u$ を $x+1$ に戻します。

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C$

さらに、式を整理します。

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C = \frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x+1} + C = \sqrt{x+1}(\frac{2}{3}(x+1) - 2) + C = \sqrt{x+1}(\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - 2) + C = \sqrt{x+1}(\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}) + C = \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C$

## (8) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母の中を平方完成します。

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

ここで、$u = x + \frac{1}{2}$ と置換します。すると、$x = u - \frac{1}{2}$ となり、$dx = du$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = \int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$

$\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$ を計算するために、$v = u^2 + \frac{3}{4}$ と置換します。すると、$dv = 2u du$ より、$\frac{1}{2}dv = u du$ となります。

$\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \int \frac{1}{2\sqrt{v}} dv = \frac{1}{2} \int v^{-1/2} dv = \frac{1}{2} \frac{v^{1/2}}{1/2} + C_1 = \sqrt{v} + C_1 = \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} + C_1$

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$ は、$u = \frac{\sqrt{3}}{2}\sinh(t)$ と置換することで計算できます。

しかし、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \sinh^{-1}(\frac{x}{a}) + C = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$ の公式を使うと、

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \ln(u + \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}) + C_2$

したがって、積分は次のようになります。

$\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \ln(u + \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}) + C$

ここで、$u = x + \frac{1}{2}$ に戻します。

$\sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}) + C = \sqrt{x^2 + x + 1} - \frac{1}{2} \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = \sqrt{x^2 + x + 1} - \frac{1}{2} \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}) + C$