(5) $\int \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} dx$ を計算してください。

承知いたしました。画像に含まれる積分問題を一つずつ解いていきます。

1. 問題の内容

(5) $\int \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

半角の公式を利用します。

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$, ここで $t = \tan \frac{x}{2}$ です。

これらを積分に代入します。

$\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{1}{\frac{2t+1-t^2+1+t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{1+t^2}{2t+2} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{2}{2t+2} dt$

$= \int \frac{1}{t+1} dt$

$= \ln |t+1| + C$

$= \ln |\tan \frac{x}{2} + 1| + C$

3. 最終的な答え

$\ln |\tan \frac{x}{2} + 1| + C$

1. 問題の内容

(6) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$u = \sqrt[3]{x+1}$ と置換すると、$u^3 = x+1$ となり、$x = u^3 - 1$、$dx = 3u^2 du$ となります。

積分に代入すると

$\int \frac{u^3 - 1}{u} 3u^2 du = \int (u^3 - 1) 3u du = 3 \int (u^4 - u) du$

$= 3(\frac{u^5}{5} - \frac{u^2}{2}) + C = \frac{3}{5} u^5 - \frac{3}{2} u^2 + C$

$= \frac{3}{5} (x+1)^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} (x+1)^{\frac{2}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5} (x+1)^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} (x+1)^{\frac{2}{3}} + C$

1. 問題の内容

(7) $\int x \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} = \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\int x \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx = \int x \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx - \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$1-x^2 = t$, $-2xdx = dt$, $xdx = -\frac{1}{2}dt$

$I_1 = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} 2 \sqrt{t} = -\sqrt{1-x^2} + C_1$

$I_2 = \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$x=\sin \theta$, $dx = \cos \theta d\theta$

$I_2 = \int \frac{\sin^2 \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta = \int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int \sin^2 \theta d\theta$

$I_2 = \int \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2\theta = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \arcsin x - \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C_2$

$\int x \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx = -\sqrt{1-x^2} - (\frac{1}{2} \arcsin x - \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2}) + C$

$= -\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

1. 問題の内容

(8) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ と変形します。

$u = x + \frac{1}{2}$ と置換すると、$x = u - \frac{1}{2}$、$dx = du$ となります。

$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du - \int \frac{1}{2 \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$

$I_1 = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$, $t = u^2 + \frac{3}{4}$, $dt = 2u du$, $u du = \frac{1}{2} dt$

$I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} 2 \sqrt{t} = \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} + C_1$

$I_2 = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} du$

$I_2 = \frac{1}{2} \sinh^{-1} \frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \ln (u + \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}) + C_2$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \ln(u+\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}) + C$

$= \sqrt{x^2 + x + 1} - \frac{1}{2} \ln(x+\frac{1}{2} + \sqrt{x^2+x+1}) + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{x^2 + x + 1} - \frac{1}{2} \ln(x+\frac{1}{2} + \sqrt{x^2+x+1}) + C$