関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ がそれぞれ $f(x) = 2x + 3$、 $g(x) = x^2 + x + 1$ で定義されている。以下の合成関数について、式を求め、全射であるか単射であるかを判定する。 (1) $f \circ g$ (2) $g \circ f$ (3) $f^2 = f \circ f$ (4) $g^2 = g \circ g$

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ がそれぞれ $f(x) = 2x + 3$、 $g(x) = x^2 + x + 1$ で定義されている。以下の合成関数について、式を求め、全射であるか単射であるかを判定する。

(1) $f \circ g$

(2) $g \circ f$

(3) $f^2 = f \circ f$

(4) $g^2 = g \circ g$

2. 解き方の手順

(1) $f \circ g$ を求める。

$f \circ g (x) = f(g(x)) = f(x^2 + x + 1) = 2(x^2 + x + 1) + 3 = 2x^2 + 2x + 2 + 3 = 2x^2 + 2x + 5$

$f \circ g (x) = 2x^2 + 2x + 5 = 2(x^2 + x) + 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2}$

値域は $[\frac{9}{2}, \infty)$ となるので、全射ではない。

また、$f \circ g (0) = 5$ であり、$f \circ g (-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) + 5 = 2 - 2 + 5 = 5$ となるので、単射ではない。

(2) $g \circ f$ を求める。

$g \circ f (x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + (2x + 3) + 1 = (4x^2 + 12x + 9) + (2x + 3) + 1 = 4x^2 + 14x + 13$

$g \circ f (x) = 4x^2 + 14x + 13 = 4(x^2 + \frac{7}{2}x) + 13 = 4(x + \frac{7}{4})^2 - 4(\frac{49}{16}) + 13 = 4(x + \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{4} + \frac{52}{4} = 4(x + \frac{7}{4})^2 + \frac{3}{4}$

値域は $[\frac{3}{4}, \infty)$ となるので、全射ではない。

また、$g \circ f$ は下に凸な二次関数なので、単射ではない。

(3) $f^2 = f \circ f$ を求める。

$f \circ f (x) = f(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 6 + 3 = 4x + 9$

$f \circ f (x) = 4x + 9$ は一次関数なので、全射かつ単射である。

(4) $g^2 = g \circ g$ を求める。

$g \circ g (x) = g(g(x)) = g(x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)^2 + (x^2 + x + 1) + 1 = (x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 + 2x^2 + 2x) + (x^2 + x + 1) + 1 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$g \circ g (x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$g \circ g (x)$ は偶数乗の項があるので全射ではない。

また、$g \circ g (0) = 3$ であり、$g \circ g (-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 + 4(-1)^2 + 3(-1) + 3 = 1 - 2 + 4 - 3 + 3 = 3$ となるので、単射ではない。

3. 最終的な答え

(1) $f \circ g (x) = 2x^2 + 2x + 5$、全射ではない、単射ではない

(2) $g \circ f (x) = 4x^2 + 14x + 13$、全射ではない、単射ではない

(3) $f \circ f (x) = 4x + 9$、全射である、単射である

(4) $g \circ g (x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$、全射ではない、単射ではない