与えられた2つの二変数関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4}$

1. 問題の内容

与えられた2つの二変数関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = kx$ に沿って $(0,0)$ に近づくことを考えます。このとき、

$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - k^2x^2}{x^2 + k^2x^2} = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}$

これは $k$ の値によって変わるため、極限は存在しません。

(2)

$y = kx$ に沿って $(0,0)$ に近づくことを考えます。このとき、

$\frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} = \frac{x^2 k^2x^2}{x^2 + k^4x^4} = \frac{k^2x^2}{1 + k^4x^2}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{k^2x^2}{1 + k^4x^2} \to 0$ となります。

次に、$x = y^2$ に沿って $(0,0)$ に近づくことを考えます。このとき、

$\frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} = \frac{y^4 y^2}{y^4 + y^4} = \frac{y^6}{2y^4} = \frac{y^2}{2}$

$y \to 0$ のとき、$\frac{y^2}{2} \to 0$ となります。

$x^2 + y^4 > x^2$ であり、$x^2 + y^4 > y^4$　であるから、

$0 \le \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} \le \frac{x^2 y^2}{x^2} = y^2$

$0 \le \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} \le \frac{x^2 y^2}{y^4} = \frac{x^2}{y^2}$

$0 \le \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} = \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} \frac{\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{y^2}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{y^2} + y^2}$

ここで、$x = r\cos\theta$, $y = r^{\frac{1}{2}}\sin\theta$　とすると、

$\frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} = \frac{r^3 \cos^2\theta\sin^2\theta}{r^2 \cos^2\theta + r^2\sin^4\theta} = r \frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin^4\theta}$

$0 \le \left|\frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin^4\theta}\right| \le 1$ なので、$r \to 0$ のとき極限は0です。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない

(2) 0