$x \arctan^{-1}x$ の不定積分を求めます。 つまり、 $\int x \arctan^{-1}x \, dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。問題文に記載されている問題1 (2) $x \arctan^{-1}x$ の不定積分を解きます。

1. 問題の内容

$x \arctan^{-1}x$ の不定積分を求めます。 つまり、

$\int x \arctan^{-1}x \, dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分の公式は

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

です。

ここで、$u = \arctan^{-1}x$、$dv = x \, dx$ とします。

すると、

$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$

$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int x \arctan^{-1}x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan^{-1}x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \arctan^{-1}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$

ここで、

$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2+1-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$

なので、

$\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = x - \arctan^{-1}x + C$

したがって、

$\int x \arctan^{-1}x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan^{-1}x - \frac{1}{2} (x - \arctan^{-1}x) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arctan^{-1}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan^{-1}x + C$

$= \frac{x^2+1}{2} \arctan^{-1}x - \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \arctan^{-1}x \, dx = \frac{x^2+1}{2} \arctan^{-1}x - \frac{x}{2} + C$