与えられた3つの関数 $y$ に対して、それぞれの導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $y$ に対して、それぞれの導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

問1: $y = (5x + 1)^{-2}$

合成関数の微分公式を用います。

$y = u^{-2}$ とおくと、$u = 5x + 1$ です。

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$

$\frac{du}{dx} = 5$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2u^{-3} \cdot 5 = -10(5x + 1)^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-10}{(5x + 1)^3}$

問2: $y = \sqrt{x^2 + 1}$

$y = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式を用います。

$y = u^{\frac{1}{2}}$ とおくと、$u = x^2 + 1$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = x(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

問3: $y = -\frac{1}{2\sqrt[3]{(2x^2 + x + 3)^2}}$

$y = -\frac{1}{2}(2x^2 + x + 3)^{-\frac{2}{3}}$

$y = -\frac{1}{2}u^{-\frac{2}{3}}$ とおくと、$u = 2x^2 + x + 3$ です。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3})u^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{3}u^{-\frac{5}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 4x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3}u^{-\frac{5}{3}} \cdot (4x + 1) = \frac{4x + 1}{3(2x^2 + x + 3)^{\frac{5}{3}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x + 1}{3\sqrt[3]{(2x^2 + x + 3)^5}}$

3. 最終的な答え

問1: $\frac{dy}{dx} = \frac{-10}{(5x + 1)^3}$

問2: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

問3: $\frac{dy}{dx} = \frac{4x + 1}{3\sqrt[3]{(2x^2 + x + 3)^5}}$