広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$ (2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

1. 問題の内容

広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

次に、広義積分の定義に従い、極限を計算します。

$\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{a \to -\infty} \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_{a}^{-1}$

$= \lim_{a \to -\infty} \left( -\frac{1}{3(-1)^3} - \left( -\frac{1}{3a^3} \right) \right) = \lim_{a \to -\infty} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3a^3} \right)$

$a \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{3a^3} \to 0$ となるので、

$\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \frac{1}{3}$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{4(\frac{x^2}{4} + 1)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2 + 1} dx$

ここで、$\frac{x}{2} = u$ と置換すると、$dx = 2du$ となるので、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} 2 du = \int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C = \arctan(\frac{x}{2}) + C$

次に、広義積分の定義に従い、極限を計算します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} \left[ \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{a}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \arctan(\frac{b}{2}) - \lim_{a \to -\infty} \arctan(\frac{a}{2}) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\pi$