問題は以下の通りです。 1. 関数 $f(x) = \log(3-x)$ の $x=2$ におけるテイラー展開を、0でない初めの3項まで求める。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 関数 $f(x) = \log(3-x)$ の $x=2$ におけるテイラー展開を、0でない初めの3項まで求める。

2. 以下の問いに答える。

(1) 関数 $f(x) = \sqrt[3]{1+x}$ のマクローリン展開を、$x^2$の項まで求める。係数が0になる項は省略してもよい。

(2) $N^3$ の値が967に最も近くなるような整数 $N$ の値を求める。

(3) (1)で求めたマクローリン展開の初めの2項を用いた1次近似式を用いて、$\sqrt[3]{967}$ の近似値を小数で求める。

(4) 関数電卓等で$\sqrt[3]{967}$ の真値を求め、絶対誤差（真値と近似値の差の絶対値）を計算する。有効桁数は気にしなくてよい。

2. 解き方の手順

問題1:

$f(x) = \log(3-x)$ の $x=2$ におけるテイラー展開を求める。

テイラー展開は

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$

で与えられる。$a=2$ の場合を考える。

まず、$f(2) = \log(3-2) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{-1}{3-x} = -(3-x)^{-1}$

$f'(2) = \frac{-1}{3-2} = -1$

$f''(x) = -(3-x)^{-2} = \frac{-1}{(3-x)^2}$

$f''(2) = \frac{-1}{(3-2)^2} = -1$

$f'''(x) = -2(3-x)^{-3}$

$f'''(x) = \frac{-2}{(3-x)^3}$

よって、

$f(x) = 0 - 1(x-2) + \frac{-1}{2}(x-2)^2 + \cdots = -(x-2) - \frac{(x-2)^2}{2} + \cdots$

したがって、0でない初めの3項は、$-(x-2) - \frac{(x-2)^2}{2} - \frac{(x-2)^3}{3}$

問題2:

(1) $f(x) = \sqrt[3]{1+x} = (1+x)^{1/3}$ のマクローリン展開を$x^2$の項まで求める。

マクローリン展開は、テイラー展開で$a=0$の場合である。

$f(0) = (1+0)^{1/3} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3}$

$f'(0) = \frac{1}{3}(1+0)^{-2/3} = \frac{1}{3}$

$f''(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2}{3} (1+x)^{-5/3} = -\frac{2}{9}(1+x)^{-5/3}$

$f''(0) = -\frac{2}{9}$

よって、

$f(x) = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{-\frac{2}{9}}{2}x^2 + \dots = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \dots$

(2) $N^3$ の値が967に最も近くなるような整数 $N$ の値を求める。

$10^3 = 1000 > 967$ より、$N<10$

$9^3 = 729$, $10^3 = 1000$

$1000-967 = 33$

$967-729 = 238$

$9.8^3 = 941.192$

$10.0^3 = 1000$

$9.9^3=970.299$

$9.8^3=941.192$

よって、$N=10$ の方が近い。

電卓を使うと、$\sqrt[3]{967} \approx 9.887$ なので、最も近い整数は10。

(3) (1)で求めたマクローリン展開の初めの2項を用いた1次近似式を用いて、$\sqrt[3]{967}$ の近似値を小数で求める。

$\sqrt[3]{967} = \sqrt[3]{1000-33} = \sqrt[3]{1000(1-\frac{33}{1000})} = 10\sqrt[3]{1-0.033}$

$f(x) = 1 + \frac{1}{3}x$

$10 f(-0.033) = 10(1 + \frac{1}{3}(-0.033)) = 10(1-0.011) = 10(0.989) = 9.89$

(4) 関数電卓等で$\sqrt[3]{967}$ の真値を求め、絶対誤差（真値と近似値の差の絶対値）を計算する。

$\sqrt[3]{967} \approx 9.887$ (電卓)

絶対誤差 $= |9.887 - 9.89| = |-0.003| = 0.003$

3. 最終的な答え

問題1: $-(x-2) - \frac{(x-2)^2}{2} - \frac{(x-2)^3}{3}$

問題2:

(1) $1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2$

(2) $N=10$

(3) $9.89$

(4) 真値: $9.887$ (近似)、絶対誤差: $0.003$