次の不定積分を求める問題です。 (1) $\int e^x \cos x \, dx$ (2) $\int e^{-x} \sin x \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

(1) $\int e^x \cos x \, dx$

(2) $\int e^{-x} \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

部分積分を2回用います。

まず、$u = e^x$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = e^x \, dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$

次に、$\int e^x \sin x \, dx$ を部分積分で計算します。

$u = e^x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = e^x \, dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$

したがって、

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx)$

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \, dx$

$2 \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + e^x \cos x$

$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$

(2)

部分積分を2回用います。

まず、$u = e^{-x}$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = -e^{-x} \, dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \cos x \, dx$

次に、$\int e^{-x} \cos x \, dx$ を部分積分で計算します。

$u = e^{-x}$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = -e^{-x} \, dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \sin x \, dx$

したがって、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \cos x - (e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \sin x \, dx)$

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

$2 \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} (\cos x + \sin x)$

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$

(2) $\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$