1枚のコインを8回投げる。表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。点数の合計が0点である確率と、点数の合計が5点以上である確率をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

1枚のコインを8回投げる。表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。点数の合計が0点である確率と、点数の合計が5点以上である確率をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点数の合計が0点になる確率

8回投げて合計が0点になるのは、表が4回、裏が4回出る場合である。

8回中4回表が出る確率は、二項分布で計算できる。

全事象は $2^8$通り。

表が4回、裏が4回出る場合の数は、${}_8 \mathrm{C}_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$通り。

したがって、点数の合計が0点である確率は、

$\frac{{}_8 \mathrm{C}_4}{2^8} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}$

(2) 点数の合計が5点以上になる確率

8回の試行で、点数の合計が5点以上になるのは、合計が5点, 6点, 7点, 8点のときである。

合計が $k$ 点である時、表が出た回数を $x$ 、裏が出た回数を $y$ とすると、

$x + y = 8$

$x - y = k$

これより、$x = \frac{8+k}{2}$, $y = \frac{8-k}{2}$

よって、

合計5点のとき、表が $\frac{8+5}{2}=6.5$回になることはない。したがって表が6回以上になる確率を考える。

- 合計5点：$x = \frac{13}{2}$, これはありえない。

- 合計6点：$x = \frac{14}{2} = 7$, $y = 1$。 ${}_8 \mathrm{C}_7 = 8$ 通り。

- 合計7点：$x = \frac{15}{2}$, これはありえない。

- 合計8点：$x = \frac{16}{2} = 8$, $y = 0$。 ${}_8 \mathrm{C}_8 = 1$ 通り。

合計が5点以上の場合は、合計が6点か8点の場合のみである。

したがって、合計が5点以上になる確率は、

$\frac{{}_8 \mathrm{C}_7 + {}_8 \mathrm{C}_8}{2^8} = \frac{8 + 1}{256} = \frac{9}{256}$

3. 最終的な答え

点数の合計が0点である確率：$\frac{35}{128}$

点数の合計が5点以上である確率：$\frac{9}{256}$