5人の生徒の小テスト前日の勉強時間（$x$ 時間）と小テストの得点（$y$ 点）のデータが与えられています。表の最下段には合計が記載されています。 (1) $x, y$ の分散と標準偏差をそれぞれ求めます。 (2) $x, y$ の共分散を求めます。 (3) $x, y$ の相関係数 $r$ を求めます。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テスト前日の勉強時間（$x$ 時間）と小テストの得点（$y$ 点）のデータが与えられています。表の最下段には合計が記載されています。

(1) $x, y$ の分散と標準偏差をそれぞれ求めます。

(2) $x, y$ の共分散を求めます。

(3) $x, y$ の相関係数 $r$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 分散と標準偏差を求める。

$x$ の分散は、$x$ の偏差の2乗の合計をデータの個数で割ったものです。

$x$ の偏差の2乗の合計は10なので、$x$ の分散は $10/5 = 2$ です。

$x$ の標準偏差は、$x$ の分散の平方根です。よって、$x$ の標準偏差は $\sqrt{2}$ です。

$y$ の分散は、$y$ の偏差の2乗の合計をデータの個数で割ったものです。

$y$ の偏差の2乗の合計は10なので、$y$ の分散は $10/5 = 2$ です。

$y$ の標準偏差は、$y$ の分散の平方根です。よって、$y$ の標準偏差は $\sqrt{2}$ です。

(2) 共分散を求める。

共分散は、偏差の積の合計をデータの個数で割ったものです。

偏差の積の合計は8なので、共分散は $8/5 = 1.6$ です。

(3) 相関係数 $r$ を求める。

相関係数 $r$ は、共分散を $x$ の標準偏差と $y$ の標準偏差の積で割ったものです。

$r = \frac{1.6}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1.6}{2} = 0.8$

3. 最終的な答え

(1)

$x$ の分散: 2

$x$ の標準偏差: $\sqrt{2}$

$y$ の分散: 2

$y$ の標準偏差: $\sqrt{2}$

(2)

共分散: 1.6

(3)

相関係数 $r$: 0.8