2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ を求めよ。 (ア) $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (3, -1, 2)$ (イ) $\vec{a} = (-1, 0, 1)$, $\vec{b} = (-1, 2, 2)$

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ を求めよ。

(ア) $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (3, -1, 2)$

(イ) $\vec{a} = (-1, 0, 1)$, $\vec{b} = (-1, 2, 2)$

2. 解き方の手順

ベクトルのなす角$\theta$を求める公式は以下の通りです。

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b}$は$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積であり、$|\vec{a}|$と$|\vec{b}|$はそれぞれのベクトルの大きさです。

(ア)の場合：

$\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (3, -1, 2)$

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (3)(2) = 3 - 2 + 6 = 7$$

$\vec{a}$ の大きさは

$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$

$\vec{b}$ の大きさは

$$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$$

したがって

$$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$を満たす$\theta$は$\theta = 60^\circ$ です。

(イ)の場合：

$\vec{a} = (-1, 0, 1)$, $\vec{b} = (-1, 2, 2)$

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(-1) + (0)(2) + (1)(2) = 1 + 0 + 2 = 3$$

$\vec{a}$ の大きさは

$$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$$

$\vec{b}$ の大きさは

$$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

したがって

$$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$を満たす$\theta$は$\theta = 45^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(ア) $\theta = 60^\circ$

(イ) $\theta = 45^\circ$

(19):【60】

(20):【45】