(3) 6人の生徒を、①3人、2人、1人の3組に分ける場合、②2人ずつ3組に分ける場合の数を求める。 (4) 男子2人、女子4人が円形のテーブルの周りに並ぶとき、①男子が向かい合う並び方、②男子が隣り合う並び方の数を求める。 (5) a, a, a, b, b, b, c の7文字を1列に並べる方法の数を求める。 (1) 等式 $x + y + z = 9$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求める。

1. 問題の内容

(3) 6人の生徒を、①3人、2人、1人の3組に分ける場合、②2人ずつ3組に分ける場合の数を求める。

(4) 男子2人、女子4人が円形のテーブルの周りに並ぶとき、①男子が向かい合う並び方、②男子が隣り合う並び方の数を求める。

(5) a, a, a, b, b, b, c の7文字を1列に並べる方法の数を求める。

(1) 等式 $x + y + z = 9$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求める。

2. 解き方の手順

(3)

① 3人、2人、1人の3組に分ける場合：

6人から3人を選ぶ方法は $_{6}C_{3}$通り。残りの3人から2人を選ぶ方法は $_{3}C_{2}$通り。残りの1人は自動的に決まるので $_{1}C_{1}=1$通り。よって、

$_{6}C_{3} \times _{3}C_{2} \times _{1}C_{1} = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times 1 = 20 \times 3 \times 1 = 60$通り。

② 2人ずつ3組に分ける場合：

6人から2人を選ぶ方法は $_{6}C_{2}$通り。残りの4人から2人を選ぶ方法は $_{4}C_{2}$通り。残りの2人は自動的に決まるので $_{2}C_{2}=1$通り。しかし、3つの組の区別がないので、3!で割る必要がある。よって、

$\frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$通り。

(4)

円順列の場合、固定するものを決めて、残りの順列を考える。

① 男子が向かい合う場合：

まず、1人の男子を固定する。向かい側に他の男子を配置する方法は1通り。残りの女子4人の並び方は4!通り。よって、 $4! = 24$通り。

② 男子が隣り合う場合：

男子2人をまとめて1人と考える。すると、合計5人が円形に並ぶことになるので、$(5-1)! = 4!$通り。さらに、男子2人の並び方が2!通りあるので、$4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$通り。

(5)

aが3つ、bが3つ、cが1つあるので、7文字を並べる順列は、

$\frac{7!}{3!3!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{6} = 7 \times 5 \times 4 = 140$通り。

(1)

$x + y + z = 9$ を満たす負でない整数の組 $(x, y, z)$ の数は、仕切りを使って考えることができる。9個のボールを並べ、2つの仕切りを入れる場所を決める。

つまり、9個のボールと2個の仕切りの合計11個の中から、仕切りを入れる2個の場所を選ぶことになるので、

$_{11}C_{2} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$通り。

3. 最終的な答え

(3) ① 60通り ② 15通り

(4) ① 24通り ② 48通り

(5) 140通り

(1) 55組