3つのサイコロを同時に投げたとき、以下の事象が起こる確率をそれぞれ求める問題です。 (1) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである。 (2) 3つのサイコロの目の積が偶数である。 (3) すべてのサイコロの目が4以下である。 (4) 出る目の最大値が4である。

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げたとき、以下の事象が起こる確率をそれぞれ求める問題です。

(1) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである。

(2) 3つのサイコロの目の積が偶数である。

(3) すべてのサイコロの目が4以下である。

(4) 出る目の最大値が4である。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも2つの目が同じである確率

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りあります。

少なくとも2つの目が同じである確率を求める代わりに、3つの目がすべて異なる確率を求めて、それを1から引く方が簡単です。

3つの目がすべて異なる目の出方は、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

したがって、3つの目がすべて異なる確率は $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ です。

少なくとも2つの目が同じである確率は $1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ です。

(2) 3つの目の積が偶数である確率

3つの目の積が偶数であるのは、少なくとも1つの目が偶数であるときです。

3つの目の積が奇数になるのは、3つとも奇数のときです。

3つとも奇数の目の出方は、$3^3 = 27$ 通りです。

したがって、3つとも奇数である確率は $\frac{27}{216} = \frac{1}{8}$ です。

少なくとも1つの目が偶数である確率は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ です。

(3) すべての目が4以下である確率

それぞれのサイコロの目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

3つのサイコロの目がすべて4以下である確率は $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$ です。

(4) 出る目の最大値が4である確率

出る目の最大値が4である場合を考えます。これは「すべての目が4以下である」という事象から、「すべての目が3以下である」という事象を除いたものです。

すべての目が3以下である確率は $(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = \frac{27}{216}$ です。

すべての目が4以下である確率は $(\frac{4}{6})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} = \frac{64}{216}$ です。

したがって、出る目の最大値が4である確率は $\frac{64}{216} - \frac{27}{216} = \frac{37}{216}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{7}{8}$

(3) $\frac{8}{27}$

(4) $\frac{37}{216}$