関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最小値を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最小値を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

(1) 関数を平方完成します。

$y = 3(x^2 - 2ax) + 2$

$y = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2$

$y = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$

(2) 軸 $x=a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき:

区間 $0 \le x \le 2$ で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は、$y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき:

軸 $x=a$ が区間内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は、$y = 3(a)^2 - 6a(a) + 2 = -3a^2 + 2$

(iii) $a > 2$ のとき:

区間 $0 \le x \le 2$ で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 2$ で最小値をとります。

最小値は、$y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

(3) 結果をまとめます。

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2$

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$