与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を有理化して簡略化します。

代数学有理化根号式の計算
2025/7/17

1. 問題の内容

与えられた式 11+2+3\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} を有理化して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、1+2+31+\sqrt{2}+\sqrt{3} を含む分数の分母を有理化するために、次のように式を変形します。
11+2+3=1(1+2)+3\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}
次に、分母と分子に (1+2)3(1+\sqrt{2})-\sqrt{3} を掛けます。
1(1+2)+3×(1+2)3(1+2)3=(1+2)3(1+2)2(3)2\frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \times \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}
分母を展開します。
(1+2)2(3)2=1+22+23=22(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 2\sqrt{2}
したがって、
(1+2)322\frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
次に、この分数の分母を有理化するために、分母と分子に 2\sqrt{2} を掛けます。
(1+2)322×22=2+264\frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}

3. 最終的な答え

2+264\frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

「代数学」の関連問題

与えられた二次関数 $y = 3x^2 + 6x - 2$ を平方完成し、頂点の座標を求める問題です。

二次関数平方完成頂点関数のグラフ
2025/7/17

次の連立1次方程式を逆行列を用いて解く。 (1) $ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + y - z = 2 \\ -5x + 5y + 2z = 0 \end{case...

線形代数連立方程式逆行列行列式
2025/7/17

直線 $y = -2x$ と平行な直線を、次の3つの選択肢の中から選ぶ問題です。 (1) $y = 2x - 3$ (2) $y = -2x + 4$ (3) $2x + y + 5 = 0$

一次関数直線傾き平行
2025/7/17

与えられた点と傾きを持つ直線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題を解きます。 (1) 点 (2, 4) を通り、傾きが 3 の直線 (2) 点 (-3, 1) を通り、傾きが -2 ...

直線の方程式傾き一次関数
2025/7/17

与えられた分数の分母 $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$ を有理化せよ。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ である。

有理化分数平方根
2025/7/17

与えられた連立1次方程式について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立方程式の解を求めます。 与えられた連立1次方程式は次の通りです。 $\...

線形代数連立一次方程式行列階数
2025/7/17

与えられた連立一次方程式について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立一次方程式の解を求めます。 与えられた連立一次方程式は以下の通りです。 $...

線形代数連立一次方程式行列階数行基本変形
2025/7/17

(1) $\sqrt{\frac{180}{n}}$ が整数となるような2桁の自然数 $n$ の値をすべて求めよ。 (2) 連続する6個の偶数の積 $k = 2 \times 4 \times \cd...

平方根整数の性質素因数分解2次方程式
2025/7/17

与えられた2次方程式 $x^2 + 6x + 5 = 0$ を解き、その解を求める問題です。

二次方程式因数分解解の公式
2025/7/17

一次方程式 $3x + 1 = 0$ を解き、$x$ の値を求めます。答えが分数になる場合は、小数で答える必要があります。

一次方程式方程式解法
2025/7/17