与えられた数式を簡略化すること。数式は $(\log_2 9 + \log_8 3)(\log_3 16 + \log_9 4)$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化すること。数式は $(\log_2 9 + \log_8 3)(\log_3 16 + \log_9 4)$ です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数を簡略化します。

$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2 \log_2 3$

$\log_8 3 = \log_{2^3} 3 = \frac{1}{3} \log_2 3$

したがって、$\log_2 9 + \log_8 3 = 2 \log_2 3 + \frac{1}{3} \log_2 3 = \frac{7}{3} \log_2 3$

次に、もう一つの括弧の中を簡略化します。

$\log_3 16 = \log_3 2^4 = 4 \log_3 2$

$\log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 = \frac{2}{2} \log_3 2 = \log_3 2$

したがって、$\log_3 16 + \log_9 4 = 4 \log_3 2 + \log_3 2 = 5 \log_3 2$

元の式は次のように書き換えることができます。

$(\frac{7}{3} \log_2 3)(5 \log_3 2)$

ここで、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、$\log_2 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 2} = \frac{1}{\log_3 2}$ です。

したがって、$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$ です。

したがって、$(\frac{7}{3} \log_2 3)(5 \log_3 2) = \frac{7}{3} \cdot 5 \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2) = \frac{35}{3} \cdot 1 = \frac{35}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{35}{3}$