5人の園児（園児Aと園児Bを含む）と1人の先生の合計6人が一列に並んで写真を撮る。ただし、園児Aと園児Bは隣り合うと喧嘩するので、基本的に隣り合ってはいけない。しかし、園児Aと園児Bの隣に先生がいる場合は、隣り合っても良い。この条件のもとで、6人の並び方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

5人の園児（園児Aと園児Bを含む）と1人の先生の合計6人が一列に並んで写真を撮る。ただし、園児Aと園児Bは隣り合うと喧嘩するので、基本的に隣り合ってはいけない。しかし、園児Aと園児Bの隣に先生がいる場合は、隣り合っても良い。この条件のもとで、6人の並び方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、全体の場合の数から、園児Aと園児Bが隣り合ってしまう場合を引くことを考えます。

全体の場合の数は、6人を並べる順列なので、$6! = 720$ 通りです。

次に、園児Aと園児Bが隣り合う場合を考えます。園児Aと園児Bをひとまとめにして考えれば、5人（先生と残り3人の園児とABのペア）を並べる順列なので、$5! = 120$通り。さらに、園児Aと園児Bの並び順がABとBAの2通りあるので、$120 \times 2 = 240$通り。

次に、園児Aと園児Bが隣り合い、かつ、その隣に先生がいる場合を考えます。園児A、園児B、先生をひとまとめにして（AB先生、BA先生、先生AB、先生BAの4つの並び方）と考えます。

AB先生の並びを考えます。残りの園児は3人なので、4つの並び（AB先生、園児、園児、園児）の順列を考えます。これは、$4! = 24$通りです。BA先生についても同様に24通りです。

先生ABの並びを考えます。これも同様に$4! = 24$通りです。先生BAについても同様に24通りです。

よって、$24 \times 4 = 96$通りです。

したがって、園児Aと園児Bが隣り合わない場合の数は、$720 - 240 + 96 = 576$通りです。

3. 最終的な答え

576通り