1以上100以下の自然数のうち、7で割ると余りが6となるような数の総和を求める。

1. 問題の内容

1以上100以下の自然数のうち、7で割ると余りが6となるような数の総和を求める。

2. 解き方の手順

7で割ると余りが6となる自然数は、$7n + 6$ (nは整数) と表せる。

1以上100以下の範囲なので、

$1 \le 7n + 6 \le 100$

これを満たすnの範囲を求める。

$1 \le 7n + 6$ より $7n \ge -5$ なので $n \ge -\frac{5}{7}$

$7n + 6 \le 100$ より $7n \le 94$ なので $n \le \frac{94}{7} = 13.42...$

nは整数なので、$0 \le n \le 13$ となる。

つまり、n=0, 1, 2, ..., 13 のときの $7n+6$ の和を求めれば良い。

求める和は

$\sum_{n=0}^{13} (7n + 6) = 7 \sum_{n=0}^{13} n + \sum_{n=0}^{13} 6$

$\sum_{n=0}^{13} n = \frac{13(13+1)}{2} = \frac{13 \times 14}{2} = 13 \times 7 = 91$

$\sum_{n=0}^{13} 6 = 6 \times 14 = 84$

よって、求める和は

$7 \times 91 + 84 = 637 + 84 = 721$

3. 最終的な答え

721