(9) $x, y$ は実数とする。条件「$x>0$ または $y<0$」の否定を求めよ。 (10) $x$ は実数とする。命題「$x=3 \Longrightarrow x^2 = 9$」の対偶を求めよ。

1. 問題の内容

(9) $x, y$ は実数とする。条件「$x>0$ または $y<0$」の否定を求めよ。

(10) $x$ は実数とする。命題「$x=3 \Longrightarrow x^2 = 9$」の対偶を求めよ。

2. 解き方の手順

(9)

「$x>0$ または $y<0$」の否定は、「$x>0$」の否定と「$y<0$」の否定を「かつ」で結んだものです。

「$x>0$」の否定は「$x \le 0$」であり、「$y<0$」の否定は「$y \ge 0$」です。

したがって、「$x>0$ または $y<0$」の否定は「$x \le 0$ かつ $y \ge 0$」となります。

(10)

命題「$p \Longrightarrow q$」の対偶は「$\lnot q \Longrightarrow \lnot p$」です。ここで、$\lnot p$ は $p$ の否定を表します。

与えられた命題「$x=3 \Longrightarrow x^2 = 9$」において、$p$ は「$x=3$」であり、$q$ は「$x^2 = 9$」です。

したがって、$\lnot p$ は「$x \ne 3$」であり、$\lnot q$ は「$x^2 \ne 9$」です。

したがって、命題「$x=3 \Longrightarrow x^2 = 9$」の対偶は「$x^2 \ne 9 \Longrightarrow x \ne 3$」となります。

3. 最終的な答え

(9) $x \le 0$ かつ $y \ge 0$

(10) $x^2 \ne 9 \Longrightarrow x \ne 3$