$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ とする。曲線 $y = f(x)$ は点 $(2, 0)$ で x軸に接している。 (1) $p, q$ の値を求めよ。 (2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めよ。 (3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ とする。曲線 $y = f(x)$ は点 $(2, 0)$ で x軸に接している。

(1) $p, q$ の値を求めよ。

(2) 関数 $f(x)$ の極大値を求めよ。

(3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = f(x)$ は点 $(2, 0)$ を通るので、

$f(2) = 2^3 + p(2^2) + q(2) = 8 + 4p + 2q = 0$

$4p + 2q = -8$

$2p + q = -4$ (1)

また、x軸に接しているので、$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ であり、$f'(2) = 0$ である。

$f'(2) = 3(2^2) + 2p(2) + q = 12 + 4p + q = 0$

$4p + q = -12$ (2)

(2) - (1) より、$2p = -8$ なので $p = -4$

$q = -4 - 2p = -4 - 2(-4) = 4$

よって、$p = -4$, $q = 4$

(2)

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{2}{3}, 2$

$x < \frac{2}{3}$ で $f'(x) > 0$

$\frac{2}{3} < x < 2$ で $f'(x) < 0$

$x > 2$ で $f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{2}{3}$ で極大となる。

極大値は $f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27}$

(3)

接点の x座標を $t$ とする。

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$

$x = t$ における接線は

$y = f'(t)(x - t) + f(t) = (3t^2 - 8t + 4)(x - t) + (t^3 - 4t^2 + 4t)$

$(2, 0)$ を通るので、

$0 = (3t^2 - 8t + 4)(2 - t) + (t^3 - 4t^2 + 4t)$

$0 = 6t^2 - 16t + 8 - 3t^3 + 8t^2 - 4t + t^3 - 4t^2 + 4t$

$0 = -2t^3 + 10t^2 - 16t + 8$

$0 = t^3 - 5t^2 + 8t - 4$

$0 = (t - 1)(t^2 - 4t + 4)$

$0 = (t - 1)(t - 2)^2$

$t = 1, 2$

$t=1$ のとき、$f'(1) = 3 - 8 + 4 = -1 < 0$

$t=2$ のとき、$f'(2) = 12 - 16 + 4 = 0$

したがって、$t=1$ であり、接線は $y = -1(x - 1) + (1 - 4 + 4) = -x + 1 + 1 = -x + 2$

$x^3 - 4x^2 + 4x = -x + 2$

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x - 2) = 0$

$(x - 1)^2(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

$\int_1^2 (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x]_1^2 = (\frac{16}{4} - \frac{32}{3} + \frac{20}{2} - 4) - (\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2) = (4 - \frac{32}{3} + 10 - 4) - (\frac{3 - 16 + 30 - 24}{12}) = 10 - \frac{32}{3} - (\frac{-7}{12}) = \frac{30 - 32}{3} + \frac{7}{12} = -\frac{2}{3} + \frac{7}{12} = \frac{-8 + 7}{12} = -\frac{1}{12}$

面積なので、$\frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4$, $q = 4$

(2) $\frac{32}{27}$

(3) $\frac{1}{12}$