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与えられた6つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1+x}{1-x}$ (2) $y = \log\frac{x^2-1}{x^2+1}$ (3) $y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ ($0<x<1$) (4) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ (5) $y = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}$ (6) $y = x\tan^{-1}x - \log\sqrt{1+x^2}$

解析学微分関数の微分合成関数商の微分法
2025/7/11

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。
(1) y=1+x1−xy = \frac{1+x}{1-x}
(2) y=log⁡x2−1x2+1y = \log\frac{x^2-1}{x^2+1}
(3) y=sin⁡−11−x2y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} (0<x<10<x<1)
(4) y=ex−e−xex+e−xy = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
(5) y=xsin⁡−1x+1−x2y = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}
(6) y=xtan⁡−1x−log⁡1+x2y = x\tan^{-1}x - \log\sqrt{1+x^2}

2. 解き方の手順

(1) 商の微分法を使用します。
y′=(1+x)′(1−x)−(1+x)(1−x)′(1−x)2=1(1−x)−(1+x)(−1)(1−x)2=1−x+1+x(1−x)2=2(1−x)2y' = \frac{(1+x)'(1-x) - (1+x)(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{1(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + 1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}
(2) 合成関数の微分法を使用します。
y′=1x2−1x2+1⋅(x2−1)′(x2+1)−(x2−1)(x2+1)′(x2+1)2=x2+1x2−1⋅2x(x2+1)−(x2−1)(2x)(x2+1)2=x2+1x2−1⋅2x3+2x−2x3+2x(x2+1)2=4x(x2−1)(x2+1)=4xx4−1y' = \frac{1}{\frac{x^2-1}{x^2+1}} \cdot \frac{(x^2-1)'(x^2+1) - (x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{2x^3+2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{4x}{x^4-1}
(3) 合成関数の微分法を使用します。
y′=11−(1−x2)2⋅121−x2⋅(−2x)=11−(1−x2)⋅−x1−x2=1x2⋅−x1−x2=1x⋅−x1−x2=−11−x2y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1-x^2})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (1-x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(4) 商の微分法を使用します。
y′=(ex−e−x)′(ex+e−x)−(ex−e−x)(ex+e−x)′(ex+e−x)2=(ex+e−x)(ex+e−x)−(ex−e−x)(ex−e−x)(ex+e−x)2=(ex+e−x)2−(ex−e−x)2(ex+e−x)2=(e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)(ex+e−x)2=4(ex+e−x)2y' = \frac{(e^x-e^{-x})'(e^x+e^{-x}) - (e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})'}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x}) - (e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x+e^{-x})^2}
(5) 積の微分法と合成関数の微分法を使用します。
y′=(x)′sin⁡−1x+x(sin⁡−1x)′+(1−x2)′=sin⁡−1x+x11−x2+121−x2⋅(−2x)=sin⁡−1x+x1−x2−x1−x2=sin⁡−1xy' = (x)'\sin^{-1}x + x(\sin^{-1}x)' + (\sqrt{1-x^2})' = \sin^{-1}x + x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \sin^{-1}x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x
(6) 積の微分法と合成関数の微分法を使用します。
y′=(x)′tan⁡−1x+x(tan⁡−1x)′−(log⁡1+x2)′=tan⁡−1x+x11+x2−11+x2⋅121+x2⋅(2x)=tan⁡−1x+x1+x2−x1+x2=tan⁡−1xy' = (x)'\tan^{-1}x + x(\tan^{-1}x)' - (\log\sqrt{1+x^2})' = \tan^{-1}x + x\frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (2x) = \tan^{-1}x + \frac{x}{1+x^2} - \frac{x}{1+x^2} = \tan^{-1}x

3. 最終的な答え

(1) y′=2(1−x)2y' = \frac{2}{(1-x)^2}
(2) y′=4xx4−1y' = \frac{4x}{x^4-1}
(3) y′=−11−x2y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(4) y′=4(ex+e−x)2y' = \frac{4}{(e^x+e^{-x})^2}
(5) y′=sin⁡−1xy' = \sin^{-1}x
(6) y′=tan⁡−1xy' = \tan^{-1}x

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