与えられた関数をマクローリン展開します。具体的には、以下の3つの関数について指定された項まで展開します。 (1) $y = \frac{1}{(1+x)^2}$ (2) $y = \log(1+x^2)$ ($x^4$ の項まで) (3) $y = \tan x$ ($x^5$ の項まで)

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開します。具体的には、以下の3つの関数について指定された項まで展開します。

(1) $y = \frac{1}{(1+x)^2}$

(2) $y = \log(1+x^2)$ ($x^4$ の項まで)

(3) $y = \tan x$ ($x^5$ の項まで)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{(1+x)^2}$ のマクローリン展開

まず、$y = \frac{1}{1+x}$ のマクローリン展開を考えます。これは等比数列の和の公式から

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ...$

となります。この式を微分することで、$\frac{1}{(1+x)^2}$ のマクローリン展開が得られます。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x} \right) = \frac{-1}{(1+x)^2}$

$\frac{d}{dx} (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ...) = -1 + 2x - 3x^2 + 4x^3 - ...$

したがって、

$\frac{-1}{(1+x)^2} = -1 + 2x - 3x^2 + 4x^3 - 5x^4 + ...$

$\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - ...$

(2) $y = \log(1+x^2)$ のマクローリン展開 ($x^4$ の項まで)

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

これに $x$ の代わりに $x^2$ を代入します。

$\log(1+x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^2}{2} + \frac{(x^2)^3}{3} - \frac{(x^2)^4}{4} + ...$

$\log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + ...$

$x^4$ の項までなので、

$\log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2}$

(3) $y = \tan x$ のマクローリン展開 ($x^5$ の項まで)

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ です。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...$

$\tan x = \frac{x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...}$

割り算を実行します。

$\tan x = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \right) \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)^{-1}$

$(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + ...$ を利用して

$\left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)^{-1} \approx 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \left( \frac{x^2}{2} \right)^2 = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$

$\tan x = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \right) \left( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} \right)$

$= x + \frac{x^3}{2} + \frac{5x^5}{24} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{12} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

$= x + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) x^3 + \left( \frac{5}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{120} \right) x^5 + O(x^7)$

$= x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{17}{360}x^5 + O(x^7)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - ...$

(2) $\log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2}$

(3) $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + ...$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$