以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\sin x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\sin x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

ロピタルの定理を使うか、$\tan^{-1} x$ のマクローリン展開を利用します。

$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} - \dots) = 1$

ロピタルの定理を使う場合：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\sin x}$

ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{\cos x} = \frac{e^0 + \sin 0}{\cos 0} = \frac{1 + 0}{1} = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ を利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

別の解法：$\tan x$ と $\sin x$ のマクローリン展開を利用する。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\tan x - \sin x = (x + \frac{x^3}{3} + \dots) - (x - \frac{x^3}{6} + \dots) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + O(x^5) = \frac{x^3}{2} + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) 1/2