平行四辺形ABCDにおいて、BE:EC = 2:1である。△EBFの面積が24 cm^2のとき、△ADF、△ABF、△DEF、△DBEの面積と、△DBE:△DECの比、平行四辺形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、BE:EC = 2:1である。△EBFの面積が24 cm^2のとき、△ADF、△ABF、△DEF、△DBEの面積と、△DBE:△DECの比、平行四辺形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) △ABFの面積を求める。

△EBFと△ABFは高さが共通なので、面積比は底辺の比に等しい。よって、

$ABF : EBF = AB : BE$

しかし、$AB : BE$ が不明。△ABEと△DECは相似なので、$AB/BE = DE/EC$。$BE : EC = 2 : 1$なので、$EC = BE/2$。

△BEFと△DEFも高さが共通なので面積比は底辺の比に等しく、$BE : EC = 2 : 1$なので、△DEFの面積は△BEFの面積の$1/2$になる。

よって、△DEF = $24 \times (1/2) = 12 cm^2$

次に、△ABDの面積を求めることを考える。

△ABDの面積は平行四辺形ABCDの面積の半分である。

△ABEの面積 = △BEF + △ABF = 24 + △ABF

△DECの面積 = 12/2 = 6 cm^2

△ADFを求める。△ADFと△ABFは高さが等しいので面積比は底辺の比に等しい。

△ADF:△ABF = DF:BF

(2) △ABFの面積を求める。

△EBFの面積が24である。

△BEFと△ABFの高さは同じで底辺の比がBE:AB。平行四辺形なのでAB=CD。BE:EC=2:1より、EC=BE/2。

△DBEと△DECの底辺の比はBE:EC=2:1なので、面積比も2:1。

△DECの面積をXとすると、△DBEの面積は2X。

△DEFの面積は12なので、

△ADFの面積は36になる。

△ABFを求める。

平行四辺形ABCDの面積は△ABDの2倍。△ABDの面積は、△ABF + △ADF + △BDF。

△EBFの面積が24。△DEFの面積が12。△BDFの面積 = 24 + 12 = 36。

BE:EC=2:1

△ABEの面積：△ADEの面積 = BE：DE

△ABEの面積：△CDEの面積 = BE：CE = 2:1

△BEF : △DEF = 2:1 = 24:12

△ABF : △ADF = BF:DF = △BEF:△DEF = 2:1

△ABF = X

△ADF = X/2

△ABE = 24 + △ABF

△ABC = △ACD

△ABF+△BEF = △ADF+△DEF

△ABC - △ABE = 3△CDE

$BE:EC = 2:1$より、$BC:EC = 3:1$

$\triangle DBE : \triangle DEC = BE : EC = 2 : 1$

$\triangle DBE = \frac{2}{3} \triangle DBC = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \text{平行四辺形} ABCD = \frac{1}{3} \text{平行四辺形} ABCD$

$\triangle DEC = \frac{1}{3} \triangle DBC = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \text{平行四辺形} ABCD = \frac{1}{6} \text{平行四辺形} ABCD$

$\triangle ABE : \triangle DEC = AB * BE : DC * CE = BE:CE = 2:1$

$\triangle ABE = 2*\triangle DEC$

$\triangle DEF = 12$

△ADFと△ABFの面積を計算していく。

△ABF=36

△ADF=72

△DBE=72+24=96

△DEC=48

平行四辺形ABCD=288

3. 最終的な答え

(1) △ADF = 72 cm^2

(2) △ABF = 36 cm^2

(3) △DEF = 12 cm^2

(4) △DBE = 96 cm^2

(5) △DBE : △DEC = 2 : 1

(6) 平行四辺形ABCD = 288 cm^2