袋の中に赤玉3個、白玉6個が入っている。この袋の中から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率 (2) 赤玉が2個、白玉が1個出る確率 (3) 赤玉が少なくとも1個出る確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、白玉6個が入っている。この袋の中から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率

(2) 赤玉が2個、白玉が1個出る確率

(3) 赤玉が少なくとも1個出る確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す場合の総数を計算します。

これは、9個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_9C_3$ で計算できます。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(1) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率を計算します。

赤玉1個の選び方は $_3C_1 = 3$ 通り、白玉2個の選び方は $_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

したがって、赤玉1個、白玉2個の選び方は $3 \times 15 = 45$ 通りです。

確率は、 $\frac{45}{84} = \frac{15}{28}$ となります。

(2) 赤玉が2個、白玉が1個出る確率を計算します。

赤玉2個の選び方は $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り、白玉1個の選び方は $_6C_1 = 6$ 通りです。

したがって、赤玉2個、白玉1個の選び方は $3 \times 6 = 18$ 通りです。

確率は、 $\frac{18}{84} = \frac{3}{14}$ となります。

(3) 赤玉が少なくとも1個出る確率を計算します。

これは、全体から赤玉が1つも出ない場合を引くことで計算できます。

赤玉が1つも出ない（つまり、3個とも白玉である）確率は、 $_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りです。

したがって、赤玉が1つも出ない確率は $\frac{20}{84} = \frac{5}{21}$ です。

赤玉が少なくとも1個出る確率は、 $1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{28}$

(2) $\frac{3}{14}$

(3) $\frac{16}{21}$