ある製品がa工場で40%, b工場で60%生産されている。a工場では1%, b工場では2%の不合格品が出る。 (1) 取り出した製品が合格品である確率を求めよ。 (2) 取り出した製品が合格品であるとき、この製品がb工場の製品である確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある製品がa工場で40%, b工場で60%生産されている。a工場では1%, b工場では2%の不合格品が出る。

(1) 取り出した製品が合格品である確率を求めよ。

(2) 取り出した製品が合格品であるとき、この製品がb工場の製品である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

a工場の製品である事象をA, b工場の製品である事象をB, 合格品である事象をDとする。

すると、$P(A) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$, $P(B) = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$。

また、$P_A(D) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$, $P_B(D) = 1 - \frac{2}{100} = \frac{98}{100}$。

(1) 事象Dは事象$A \cap D$と事象$B \cap D$の和事象で、$A \cap D$と$B \cap D$は互いに排反であるから、

$P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D)$

$P(D) = \frac{2}{5} \times \frac{99}{100} + \frac{3}{5} \times \frac{98}{100} = \frac{198}{500} + \frac{294}{500} = \frac{492}{500} = \frac{123}{125}$

(2) 求める確率は$P_D(B)$であるから、

$P_D(B) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{P(B) \times P_B(D)}{P(D)} = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{98}{100}}{\frac{123}{125}} = \frac{\frac{294}{500}}{\frac{492}{500}} = \frac{294}{492} = \frac{147}{246} = \frac{49}{82}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{123}{125}$

(2) $\frac{49}{82}$