四角形ABCDの花壇があり、$AB=CD=6$, $BC=6\sqrt{3}$, $AC=AD=6\sqrt{7}$である。 (1) $\cos \angle ABC$の値を求める。 (2) $\triangle ABC$の面積と$\triangle ACD$の面積をそれぞれ求める。 (3) 辺AD上に点Pをとり、直線CPで四角形ABCPの面積と$\triangle CDP$の面積が等しくなるように分ける。このとき、線分DPの長さと線分CPの長さをそれぞれ求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDの花壇があり、$AB=CD=6$, $BC=6\sqrt{3}$, $AC=AD=6\sqrt{7}$である。

(1) $\cos \angle ABC$の値を求める。

(2) $\triangle ABC$の面積と$\triangle ACD$の面積をそれぞれ求める。

(3) 辺AD上に点Pをとり、直線CPで四角形ABCPの面積と$\triangle CDP$の面積が等しくなるように分ける。このとき、線分DPの長さと線分CPの長さをそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos \angle ABC$を求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$(6\sqrt{7})^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \cos \angle ABC$

$252 = 36 + 108 - 72\sqrt{3} \cos \angle ABC$

$108 = -72\sqrt{3} \cos \angle ABC$

$\cos \angle ABC = -\frac{108}{72\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\triangle ABC$の面積と$\triangle ACD$の面積をそれぞれ求める。

$\triangle ABC$の面積は、$\sin \angle ABC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ABC} = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 9\sqrt{3}$

$\triangle ACD$は、$AC=AD=6\sqrt{7}$なので二等辺三角形。ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{6+6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}{2}=3+6\sqrt{7}$

$\triangle ACD = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$= \sqrt{(3+6\sqrt{7})(3+6\sqrt{7}-6)(3+6\sqrt{7}-6\sqrt{7})(3+6\sqrt{7}-6\sqrt{7})}$

$= \sqrt{(3+6\sqrt{7})(-3+6\sqrt{7})(3)(3)} = 3\sqrt{(6\sqrt{7}+3)(6\sqrt{7}-3)}$

$= 3\sqrt{(6\sqrt{7})^2 - 3^2} = 3\sqrt{252-9}=3\sqrt{243}=3\cdot9\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$

(3) 四角形ABCDの面積は$\triangle ABC+\triangle ACD = 9\sqrt{3}+27\sqrt{3}=36\sqrt{3}$

四角形ABCPの面積と$\triangle CDP$の面積が等しいので、$\triangle CDP$の面積は$\frac{1}{2}\cdot 36\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$となる。

$\triangle ACD$において$AD$を底辺とすると高さは$h$とする。$\triangle ACD = \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{7} h = 27\sqrt{3}$より、$h= \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{21}}{7}$

$\triangle CDP$において、$DP=x$とすると、$\frac{x}{6\sqrt{7}} \cdot 27\sqrt{3}=18\sqrt{3}$

$x = 6\sqrt{7} \cdot \frac{18\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = 6\sqrt{7} \cdot \frac{2}{3} = 4\sqrt{7}$

$AP = AD - DP = 6\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$

$\triangle CDP = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CP \cdot \sin \angle DCP = 18\sqrt{3}$

$\angle CAD = \angle ACD$とする。$\cos\angle CAD = \frac{(6\sqrt{7})^2+(6\sqrt{7})^2-6^2}{2(6\sqrt{7})(6\sqrt{7})} = \frac{252+252-36}{2 \cdot 252} = \frac{468}{504} = \frac{13}{14}$

$\sin\angle CAD = \sqrt{1 - (\frac{13}{14})^2} = \sqrt{1-\frac{169}{196}} = \sqrt{\frac{27}{196}} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ABC = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\triangle ABC = 9\sqrt{3}$, $\triangle ACD = 27\sqrt{3}$

(3) $DP = 4\sqrt{7}$