関数 $F(x) = \int_{0}^{x} 3(t+3)(t-1) dt$ の極大値と極小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_{0}^{x} 3(t+3)(t-1) dt$ の極大値と極小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を微分します。微積分学の基本定理より、

$$F'(x) = 3(x+3)(x-1)$$

次に、$F'(x)=0$となる $x$ を求めます。

$$3(x+3)(x-1)=0$$

よって、$x=-3, 1$ が極値を取る候補です。

次に、$F''(x)$を求めます。

$$F'(x) = 3(x^2 + 2x - 3) = 3x^2 + 6x - 9$$

$$F''(x) = 6x + 6$$

$x = -3$ のとき、$F''(-3) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 < 0$なので、$x=-3$で極大値を取ります。

$x = 1$ のとき、$F''(1) = 6(1) + 6 = 12 > 0$なので、$x=1$で極小値を取ります。

$F(x) = \int_{0}^{x} 3(t+3)(t-1) dt = \int_{0}^{x} 3(t^2+2t-3) dt = \int_{0}^{x} (3t^2+6t-9) dt$

$= [t^3 + 3t^2 - 9t]_{0}^{x} = x^3 + 3x^2 - 9x$

$F(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 27 + 27 = 27$

$F(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) = 1 + 3 - 9 = -5$

よって、$x=-3$のとき極大値$27$をとり、$x=1$のとき極小値$-5$をとります。

3. 最終的な答え

極大値：$27$

極小値：$-5$