$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ で表すために、三角関数の恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を用いる。これにより、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ となる。

これを元の方程式に代入すると、

$2(1 - \sin^2\theta) - \sin\theta - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

$-2\sin^2\theta - \sin\theta + 1 = 0$

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

ここで、$x = \sin\theta$ とおくと、方程式は $2x^2 + x - 1 = 0$ となる。

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(2x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}$ または $x = -1$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \frac{\pi}{6}$ または $\theta = \frac{5\pi}{6}$

$\sin\theta = -1$ のとき、

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$