6個の文字 G, A, K, K, O, U を並べる。 (1) 6個の文字全てを一列に並べるとき、並べ方は何通りあるか。 (2) AGKKOU を1番目として辞書式に並べるとき、100番目の文字列を求めなさい。ただし、導出過程を書くこと。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

6個の文字 G, A, K, K, O, U を並べる。

(1) 6個の文字全てを一列に並べるとき、並べ方は何通りあるか。

(2) AGKKOU を1番目として辞書式に並べるとき、100番目の文字列を求めなさい。ただし、導出過程を書くこと。

2. 解き方の手順

(1)

6個の文字の中にKが2つあるので、同じものを含む順列の公式を利用する。

異なる文字の並べ方は $6!$ 通り。Kが2つあるので、$2!$ で割る必要がある。

したがって、並べ方は $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ 通り。

(2)

辞書式順序で並べることを考える。

まず、Aから始まるものを数える。

A _ _ _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの5文字は G, K, K, O, U。Kが2つあるので、$\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ 通り。

次に、Gから始まるものを数える。

G _ _ _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの5文字は A, K, K, O, U。Kが2つあるので、$\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ 通り。

AGKKOUは1番目なので、100番目を求めるためには、Aから始まる60通りを全て数え、Gから始まる文字列を数えることになる。

100 - 60 = 40。つまり、Gから始まる文字列の中で40番目の文字列を求めることになる。

G A _ _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの4文字は K, K, O, U。Kが2つあるので、$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り。

40 - 12 = 28。

G K _ _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの4文字は A, K, O, U。全て異なるので $4! = 24$ 通り。

28 - 24 = 4。

G O _ _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの4文字は A, K, K, U。Kが2つあるので、$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り。

4 < 12なので、GOから始まるものが4番目のものを見つければよい。

G O A _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの3文字は K, K, U。$\frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3$ 通り。

4 - 3 = 1。

G O K _ _ _ の形の文字列の数を数える。残りの3文字は A, K, U。$3! = 6$ 通り。

1 < 6なので、GOKから始まる1番目のものを見つければよい。

G O K A _ _ の形の文字列の数を数える。残りの2文字は K, U。並べ方は KU と UK。1番目は KU。

したがって、100番目の文字列は GOKAKU。

3. 最終的な答え

(1) 360通り

(2) GOKAKU